Question

Докажите, что если в параллелограмме диагональ является биссектрисой, то параллелограмм-ромб

Answer 1

Пусть АС - биссектриса и диагональ параллелограмма ABCD, тогда BAC = CAD.

BCA=CAD как накрест лежащие углы параллельных BC и AD, при секущей AC, => BAC = BCA, значит треугольник ABC - равнобедренный с основанием АС =>АВ = ВС по свойству параллелограмма, AB=CD=BC=AD как противоположные стороны => ABCD - ромб.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо использовать определение биссектрисы и свойства параллелограмма.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Дано: Параллелограмм ABCD, где AC является диагональю и также биссектрисой угла A.

Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является ромбом, нам нужно показать, что все его стороны равны.

Доказательство:

1. Из определения биссектрисы следует, что угол BAC равен углу CAD.

2. Так как угол CAD равен углу ABC (как вертикальные углы), то угол BAC также равен углу ABC.

3. Таким образом, получаем, что угол ABC равен углу BAC.

4. Параллельность сторон параллелограмма означает, что угол ABC равен углу CDA (как вертикальные углы).

5. Из пункта 3 следует, что угол ABC равен углу BAC, и угол ABC равен углу CDA. Значит, угол BAC равен углу CDA.

6. Следовательно, все углы параллелограмма ABCD равны между собой.

7. В ромбе все углы равны между собой.

8. Таким образом, параллелограмм ABCD с диагональю AC, являющейся биссектрисой угла A, имеет все углы равными.

9. В ромбе все углы равными, поэтому параллелограмм ABCD является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмме диагональ является биссектрисой, то этот параллелограмм является ромбом.