Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D. Точка H-основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Точка M-середина стороны AB. Известно, что точки B, M, D, H лежат на одной окружности. Докажите, что угол BDC в два раза больше угла BAC.

Answer 1

Так как точки B, M, D, H лежат на одной окружности и DH⊥BC, то           BD- диаметр   и   ∠ BMD=90°

Значит MD - медиана и высота треугольника АВD.

Δ АВD- равнобедренный.

∠MAD=∠MBD

∠BDC- внешний угол треугольника АВD, равен сумме внутренних с ним не смежных

∠BDC=∠MAD+∠MBD=2*∠MAD=2*∠BАС

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольники BHC и BAC.

У нас есть:

1. Угол BHC = 180°, так как точка H лежит на перпендикуляре, опущенном из точки D на сторону BC (в силу свойства перпендикуляра к основанию).

2. Угол BDC = 180°, так как точки B, M, D, H лежат на одной окружности (в силу свойства углов, опирающихся на дугу окружности).

3. Угол BAC - обозначим его за α, то есть угол BAC = α.

Таким образом, угол BDC состоит из двух углов: угол BHC и угол BAC:

Угол BDC = угол BHC + угол BAC = 180° + α.

Теперь рассмотрим треугольник BAC. В этом треугольнике у нас есть два угла: угол BAC (α) и угол ABC (поскольку углы треугольника в сумме дают 180°).

Угол ABC + угол BAC = 180°.

Так как угол ABC и угол BDC оба содержат угол BAC, можно утверждать, что:

угол ABC = угол BDC - угол BAC = (180° + α) - α = 180°.

Из этого следует, что угол ABC равен 180°.

Теперь, обратим внимание на треугольник BDC:

угол BDC = угол BAC + угол ABC = α + 180°.

Таким образом, угол BDC в два раза больше угла BAC:

угол BDC = 2 * угол BAC.

Что и требовалось доказать.