Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписанная окружность касается стороны AB в точке М, а точка K, лежащая на стороне ВС такова, что ВК:КС=1:2. Радиус вписаннойокружности относится к высоте BD как 1:4. Найдите отношение площадей четырёхугольникаАМКС и треугольника MBK​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписанная

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть r - радиус вписанной окружности, h - высота треугольника ABC из вершины B, и R - радиус описанной окружности треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM = BM = MC = R.

Теперь обратим внимание на четырехугольник АМКС. У него две стороны равны радиусу вписанной окружности r, а другие две стороны - AM и AC - равны R.

Так как у равнобедренного треугольника ABC сторона AC является диаметром описанной окружности, то радиус описанной окружности R в два раза больше радиуса вписанной окружности: R = 2r.

Из данного условия: r / h = 1 / 4.

Далее, отношение длины сторон ВК и КС равно 1:2, то есть ВК / КС = 1 / 2.

Теперь рассмотрим треугольник MBK. Из того же условия описанной окружности следует, что BM = 2R.

Теперь у нас есть достаточно информации для решения задачи.

Площадь четырехугольника АМКС можно найти как сумму площади треугольника АМС и треугольника АМК.

Площадь треугольника АМС: S_АМС = (1/2) * AM * AC = (1/2) * R * 2R = R^2.

Площадь треугольника АМК можно найти по формуле Герона:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (2R + 2R + BC) / 2 = (4R + BC) / 2 = 2R + BC / 2 = R + BC / 2.

где p - полупериметр треугольника АМК.

Теперь используем формулу Герона для площади треугольника АМК:

S_АМК = √[p * (p - AM) * (p - AK) * (p - KC)],

где AM = R, AK = r, KC = r (так как ВК = КС), и p = R + BC / 2.

S_АМК = √[(R + BC / 2) * (R + BC / 2 - R) * (R + BC / 2 - r) * (R + BC / 2 - r)].

S_АМК = √[(R + BC / 2) * (BC / 2) * (BC / 2 - r) * (BC / 2 - r)].

Теперь рассмотрим треугольник MBK. Его площадь можно вычислить по формуле Герона:

p_МВК = (MB + MK + BK) / 2 = (2R + r + r) / 2 = R + r.

S_МВК = √[p_МВК * (p_МВК - MB) * (p_МВК - MK) * (p_МВК - BK)].

S_МВК = √[(R + r) * (R + r - 2R) * (R + r - r) * (R + r - r)].

S_МВК = √[(R + r) * R * r * r].

Теперь можем найти отношение площадей S_АМКС и S_МВК:

Отношение = S_АМКС / S_МВК = (S_АМС + S_АМК) / S_МВК = (R^2 + √[(R + BC / 2) * (BC / 2) * (BC / 2 - r) * (BC / 2 - r)]) / √[(R + r) * R * r * r].