Question

Помогите пожалуйста с задачей, Консервная банка цилиндрической формы имеет полную поверхность площади 216 пи см^2. При каких радиусе основания и высоте достигнет достигается наибольшая вместимость?

Answer 1

Объяснение:

решение во вложении...

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится определить радиус основания и высоту, при которых достигается наибольшая вместимость консервной банки.

Пусть r обозначает радиус основания банки, а h - высоту банки.

Общая поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. По условию, она равна 216π см²:

2πrh + 2πr² = 216π.

Упростим это уравнение:

πr(h + 2r) = 216.

Для нахождения наибольшей вместимости, нам нужно максимизировать объем цилиндра. Объем V цилиндра определяется следующей формулой:

V = πr²h.

Из уравнения на общую поверхность выразим h:

h = (216 - 2πr²) / (2πr).

Подставим это значение в формулу для объема:

V = πr²((216 - 2πr²) / (2πr)).

Упростим выражение:

V = (216r - 2πr³) / 2.

Чтобы найти наибольшую вместимость, нужно найти максимальное значение V. Для этого продифференцируем V по r и найдем точку, в которой производная равна нулю:

dV/dr = (216 - 6πr²) / 2 = 0.

Решим это уравнение относительно r:

216 - 6πr² = 0, 6πr² = 216, r² = 36, r = 6.

Теперь, найдем высоту h, используя значение r:

h = (216 - 2πr²) / (2πr), h = (216 - 2π(6²)) / (2π(6)), h = (216 - 2π(36)) / (12π), h = (216 - 72π) / (12π), h ≈ 2.82.

Таким образом, при радиусе основания r ≈ 6 и высоте h ≈ 2.82 достигается наибольшая вместимость консервной банки.