Question

В треугольнике CDE известно что CD= 8 см,DE=10 см,CE= 12 см, DK биссектриса треугольника CDE. Найдите длину отрезка DK​

Answer 1

Дано :

ΔCDE.

СD = 8 см.

DE = 10 см.

СЕ = 12 см.

Отрезок DK - биссектриса ΔCDE.

Найти :

DK = ?

Решение :

Пусть СК = х, тогда КЕ = 12 (см) - х.

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Соответственно -

$\frac{CD}{CK} = \frac{DE}{KE}$

Подставим всё то, что нам известно и находим х -

$\frac{8}{x} = \frac{10}{12-x}\\\\8*(12-x) = 10x\\\\12-x = 1,25x\\\\12 = 2,25x\\\\x = 5\frac{1}{3}$

- - -

$CK = 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ cм

$KE=12-x = 12-5\frac{1}{3}=6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ см.

• Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равен произведению сторон, из которых выходит биссектриса, без произведения отрезков, на которая она делит третью сторону.

Запишем в виде формулы -

$DK^{2} = CD*DE - CK*KE$

Осталось только подставить и подсчитать -

$DK^{2} = 8*10 - \frac{16}{3} * \frac{20}{3} \\\\DK^{2} = 80 - \frac{320}{9}\\\\DK^{2} = 80 - 35\frac{5}{9}\\\\DK^{2} = 44\frac{4}{9} \\\\DK = \sqrt{44\frac{4}{9}} \\\\DK = \sqrt{\frac{400}{9}} \\\\DK = \frac{20}{3} \\\\DK = 6\frac{2}{3}$

$DK = 6\frac{2}{3}$ см.

Ответ :

$6\frac{2}{3}$ (см).

Answer 2

Для нахождения длины отрезка DK, мы можем использовать теорему биссектрисы треугольника.

В данном случае треугольник CDE является прямоугольным, так как DE является наибольшей стороной, а CD и CE - катетами.

Согласно теореме биссектрисы треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону (в данном случае DE) пропорционально оставшимся двум сторонам (CD и CE). То есть:

DK/KE = CD/CE

Заменяя известные значения, получаем:

DK/KE = 8/12

Упрощаем дробь:

DK/KE = 2/3

Мы также знаем, что DK + KE = DE. Подставляем известные значения:

DK + KE = 10

Теперь у нас есть система уравнений:

DK/KE = 2/3 DK + KE = 10

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на KE:

DK = (2/3) * KE

Подставим это значение во второе уравнение:

(2/3) * KE + KE = 10

(5/3) * KE = 10

Умножим обе части уравнения на (3/5):

KE = (3/5) * 10

KE = 6

Теперь мы можем найти DK, подставив значение KE в первое уравнение:

DK = (2/3) * KE

DK = (2/3) * 6

DK = 4

Итак, длина отрезка DK равна 4 см.