Question

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D. Известно, что ∠BAC=30∘, ∠DBC=75∘, ∠BCA=45∘. Найдите CD, если известно, что BA+AD=18​

Answer 1

Ответ: 9

Объяснение:

Проведем высоту BG  на сторону AC и высоту  DR на  сторону AB.

Из суммы углов  Δ ABC

∠ABC = 180° -45°-30° =105°

Тогда  ∠DBR = 105°-75°=30°

Из суммы углов Δ BGC

∠CBG =90°-45°=45°

Откуда

∠DBG = 75°-45°=30°

Поскольку  ∠DAB=∠DBA=30°

Δ DAB - равнобедренный

Но  тогда  высота DR  является медианой , то есть

AR=RB=x

AD= 18-BA= 18-2x

В прямоугольном Δ ARD  катет DR лежит напротив угла в 30° , а  значит равен половине гипотенузы  AD= 18-2x

DR= (18-2x)/2 = 9-x

Прямоугольный  Δ RBD  равен прямоугольному Δ GBD  по общей гипотенузе BD и  равным острым углам ∠RBD=∠GBD=30°

Отсюда следует что

DG=DR=9-x

BG=BR=x

ΔGBC - прямоугольный равнобедренный , тк ∠GCB=∠GBC=45°

Таким образом

BG=GC=x

CD= DG +GC = 9-x +x =9

Ответ :9

Answer 2

Давайте воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC для нахождения длины отрезка BC:

BC/sin(∠BAC) = BA/sin(∠BCA)

BC/sin(30°) = BA/sin(45°)

Так как sin(30°) = 1/2 и sin(45°) = √2/2, мы можем записать:

BC/(1/2) = BA/(√2/2)

BC = 2BA/√2

Теперь мы можем выразить CD через длины отрезков BC и AD. Используя заданное условие BA + AD = 18, мы можем записать:

CD = BC - BA

CD = 2BA/√2 - BA

CD = BA(2/√2 - 1)

Теперь нам нужно найти BA. Мы можем воспользоваться уравнением BA + AD = 18. Заменяя AD на (18 - BA), мы получаем:

BA + (18 - BA) = 18

18 = 18

Таким образом, мы видим, что уравнение не содержит информации о длине отрезка BA. Это означает, что мы не можем однозначно найти значение отрезка CD с предоставленной информацией.