Question

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены отрезки АС и АD, каждый из которых, являясь хордой одной окружности, касается другой. Доказать, что AC^2 *BD=AD^2 *BC.​

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства равенства AC^2 * BD = AD^2 * BC в данной геометрической ситуации, воспользуемся свойствами касательных и хорд в окружности.

Пусть O₁ и O₂ - центры данных окружностей, а R₁ и R₂ - их радиусы.

Так как AC и AD являются хордами, касающимися окружности с центром O₂, то они перпендикулярны к радиусу, проведенному в точке касания, т.е. AO₂. То же самое можно сказать о BD и BC - они перпендикулярны к радиусу, проведенному в точке касания окружности с центром O₁.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ΔACO₂ и ΔADO₂:

1. ΔACO₂: AC - хорда, перпендикулярная к радиусу AO₂ AO₂ - радиус окружности O₂ CO₂ - касательная к окружности O₂ из точки C По свойству касательной к окружности, CO₂ ⊥ AO₂ Таким образом, ΔACO₂ - прямоугольный треугольник

2. ΔADO₂: AD - хорда, перпендикулярная к радиусу AO₂ AO₂ - радиус окружности O₂ DO₂ - касательная к окружности O₂ из точки D По свойству касательной к окружности, DO₂ ⊥ AO₂ Таким образом, ΔADO₂ - прямоугольный треугольник

Теперь, применяя теорему Пифагора в ΔACO₂ и ΔADO₂, получим:

1. В ΔACO₂: AC² = AO₂² + CO₂²

2. В ΔADO₂: AD² = AO₂² + DO₂²

Теперь умножим первое уравнение на BD и второе уравнение на BC:

1. BD * AC² = BD * (AO₂² + CO₂²)
2. BC * AD² = BC * (AO₂² + DO₂²)

Теперь сложим оба уравнения:

BD * AC² + BC * AD² = BD * (AO₂² + CO₂²) + BC * (AO₂² + DO₂²)

Теперь заметим, что (AO₂² + CO₂²) = (AO₂² + DO₂²), так как это равны квадраты радиуса окружности O₂.

BD * AC² + BC * AD² = BD * (AO₂² + DO₂²) + BC * (AO₂² + DO₂²)

BD * AC² + BC * AD² = (BD + BC) * (AO₂² + DO₂²)

Так как AO₂² + DO₂² = AD² (из уравнения ΔADO₂), то:

BD * AC² + BC * AD² = (BD + BC) * AD²

BD * AC² + BC * AD² = BD * AD² + BC * AD²

Теперь вынесем AD² налево:

BD * AC² - BC * AD² = BD * AD² - BC * AD²

BD * AC² - BC * AD² = 0

Теперь можем факторизовать:

AC² * BD - AD² * BC = 0

Так как мы знаем, что AC ≠ AD и BD ≠ BC (так как это разные отрезки), то можем разделить обе части на (AC² - AD²):

(AC² * BD - AD² * BC) / (AC² - AD²) = 0 / (AC² - AD²)

BD = 0

Так как BD ≠ 0 (так как это отрезок), то полученное уравнение противоречит исходному условию, и это означает, что наше предположение о том, что AC² * BD = AD² * BC, было неверным.

Таким образом, утверждение не верно, и равенство AC² * BD = AD² * BC не доказывается.