Question

Около правильного многоугольника описана окружность, и в этот же многоугольник вписана ещё одна окружность. Площадь кольца, ограниченного этими окружностями, равна 36п см^2. Найдите длину стороны многоугольника

Answer 1

////////////////////////////////////////////

Answer 2

Найти a.

r^2=R^2-(a/2)^2

Sкольца=S1-S2

S1=пR^2

S2=пr^2=п(R^2-(a/2)^2)

Sкольца=п(R^2-R^2+(a/2)^2)=п*a^2/4=36п

a^2/4=36

a=12

Answer 3

Пусть n - количество сторон в многоугольнике. Площадь описанного вокруг многоугольника кольца можно выразить как разность площадей круга с радиусом, равным радиусу описанной окружности, и круга с радиусом, равным радиусу вписанной окружности.

Площадь описанного круга: S1 = πR^2

Площадь вписанного круга: S2 = πr^2

Где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Так как площадь кольца равна 36π см^2, то: S1 - S2 = 36π

Подставим формулы площадей в это уравнение: πR^2 - πr^2 = 36π

Упростим: R^2 - r^2 = 36

Заметим, что радиус описанной окружности R равен половине длины стороны многоугольника n, а радиус вписанной окружности r равен половине апофемы многоугольника a.

Формула для радиуса описанной окружности: R = (a/2) / cos(π/n)

Формула для радиуса вписанной окружности: r = (a/2) / tan(π/n)

Подставим эти значения в уравнение: ((a/2) / cos(π/n))^2 - ((a/2) / tan(π/n))^2 = 36

Упростим: (a^2 / 4cos^2(π/n)) - (a^2 / 4tan^2(π/n)) = 36

Умножим уравнение на 4cos^2(π/n)tan^2(π/n), чтобы избавиться от знаменателей: a^2tan^2(π/n) - a^2cos^2(π/n) = 144cos^2(π/n)tan^2(π/n)

a^2(tan^2(π/n) - cos^2(π/n)) = 144cos^2(π/n)tan^2(π/n)

Применим тригонометрическое тождество: tan^2(π/n) = 1 - cos^2(π/n) a^2((1 - cos^2(π/n)) - cos^2(π/n)) = 144cos^2(π/n)(1 - cos^2(π/n))

Упростим: a^2(1 - 2cos^2(π/n)) = 144cos^2(π/n)(1 - cos^2(π/n))

Делим обе части уравнения на (1 - cos^2(π/n)): a^2(1 - 2cos^2(π/n)) / (1 - cos^2(π/n)) = 144cos^2(π/n)

Упростим: a^2(1 - 2cos^2(π/n)) / sin^2(π/n) = 144cos^2(π/n)

Перепишем sin^2(π/n) как 1 - cos^2(π/n): a^2(1 - 2cos^2(π/n)) / (1 - cos^2(π/n)) = 144cos^2(π/n)

Умножим обе части уравнения на (1 - cos^2(π/n)): a^2(1 - 2cos^2(π/n)) = 144cos^2(π/n)(1 - cos^2(π/n))

Раскроем скобки: a^2 - 2a^2cos^2(π/n) = 144cos^2(π/n) - 144cos^4(π/n)

a^2 + 144cos^4(π/n) - 2a^2cos^2(π/n) - 144cos^2(π/n) = 0

Вынесем общий множитель: 144cos^4(π/n) - (2a^2 + 144)cos^2(π/n) + a^2 = 0

Теперь это уравнение квадратное относительно cos^2(π/n). По формуле для решения квадратного уравнения, дискриминант D должен быть равен нулю: D = (2a^2 + 144)^2 - 4 * 144 * a^2 = 0

Раскроем скобки и упростим: 4a^4 + 576a^2 + 20736 - 576a^2 = 0

Упростим: 4a^4 + 20736 = 0

Выразим a^4: a^4 = -20736 / 4 = -5184

Так как площадь не может быть отрицательной, то это означает, что в данной задаче невозможно найти длину стороны многоугольника. Возможно, в условии присутствует ошибка или опечатка.