Question

В треугольнике ABC проведена медиана AM и высота BH. Докажите, что MH= 1/2 BC.

Answer 1

Ответ:

MH = 1/2 BC

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства равенства MH = 1/2 BC в треугольнике ABC, где M - середина стороны BC, H - точка пересечения высоты BH с основанием AC, можно воспользоваться свойством медианы треугольника.

Согласно свойству медианы, медиана делит сторону треугольника на две равные части. То есть, AM = MC.

Также, по определению высоты треугольника, высота является перпендикуляром к основанию. Поэтому BH перпендикулярна к AC и делит треугольник на два прямоугольных треугольника, ABH и CBH.

Таким образом, у нас есть следующие равенства:

1. AM = MC (свойство медианы)
2. BH ⊥ AC (свойство высоты)
3. ∠ABH = ∠CBH = 90° (прямые углы в прямоугольных треугольниках)

Теперь рассмотрим треугольники AMH и CBH.

В треугольнике AMH у нас есть:

• AM = MC (из свойства медианы)
• ∠AMH = ∠CBH = 90° (перпендикулярность BH и AC)

В треугольнике CBH у нас есть:

• BH ⊥ AC (свойство высоты)
• ∠CBH = ∠AMH = 90° (перпендикулярность BH и AC)

Таким образом, треугольники AMH и CBH являются подобными (по признаку "прямоугольный угол - прямоугольный угол - общий угол").

По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно.

То есть, MH / BH = AM / CB.

У нас уже есть равенство AM = MC, поэтому можно записать:

MH / BH = MC / CB.

Подставим MC = AM:

MH / BH = AM / CB.

Так как AM = MC, то:

MH / BH = MC / CB = AM / CB.

Теперь, учитывая равенство AM = MC, мы получаем:

MH / BH = AM / CB = MC / CB = 1 / 2.

Таким образом, мы доказали, что MH = 1/2 BC.