Question

Знайдіть синус гострого кута A, якщо cosA = 3/5

Answer 1

1 спосіб

Використовуючи основну тригонометричну тоточжність, маємо:

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

$\sin^{2}\alpha = 1 - \cos^{2}\alpha$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2}\alpha }=\sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5} \right)^{2}} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25} } = \sqrt{\dfrac{16}{25} } = \dfrac{4}{5}$

2 спосіб

Нехай $a$ та $b$ — відповідно протилежний і прилеглий катети відносно кута $\alpha$, а $c$ — гіпотенуза прямокутного трикутника (см. рисунок).

Косинусом госторого кута $\alpha$ прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета $b$ до гіпотенузи $c$:

$\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$

Тобто $b = 3$, а $c = 5$ одиниць. Отже, за теоремою Піфагора $a = \sqrt{c^{2} - b^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ одиниці.

Синусом госторого кута $\alpha$ прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета $a$ до гіпотенузи $c$:

$\sin \alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{4}{5}$

Відповідь: $\dfrac{4}{5}$

Answer 2

Щоб знайти синус гострого кута A, використовуємо тригонометричну тотожність:

sin^2(A) + cos^2(A) = 1

Ми знаємо, що cos(A) = 3/5, тому можемо знайти sin(A):

sin^2(A) + (3/5)^2 = 1

sin^2(A) + 9/25 = 1

sin^2(A) = 1 - 9/25

sin^2(A) = 16/25

sin(A) = ±√(16/25)

Значення синуса може бути позитивним або негативним, в залежності від того, у якому квадранті знаходиться кут A.

Значення sin(A) = ± 4/5

Таким чином, синус гострого кута A дорівнює ±4/5.