Question

Лесник отмечает на карте участок для посадки елей в виде прямоугольного треугольника, гипотенуза которого больше на 9 см одного из катетов и на 8см больше другого. Определите площадь участка на местности, если масштаб карты 1:1000. Запишите полностью решение, представив ответ в м2.​

Answer 1

Гипотенуза x см, катеты x-9 и x-8 см. По теореме Пифагора

$(x-9)^2+(x-8)^2=x^2\\x^2-18x+81+x^2-16x+64=x^2\\x^2-34x+145=0\\D=1156-4\cdot1\cdot145=1156-580=576=(\pm24)^2\\x_{1,2}=\frac{34\pm24}2\\x_1=5,\;x_2=29$

Если длина гипотенузы равна 5 см, то длины катетов отрицательны. Значит первый корень не подходит.

Тогда гипотенуза 29 см, катеты 20 и 21 см.

Масштаб карты 1:1000, значит катеты

20 000 см = 200 м

21 000 см = 210 м

Площадь участка

S = 200·210:2 = 200·105 = 21 000 м²

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $x$ и $y$ (в см). Тогда гипотенуза будет равна $x + 9$ и $y + 8$ (в см).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

$Площадь = \frac{1}{2} \times x \times y$

Учитывая масштаб карты 1:1000, нам нужно будет перевести площадь из см² в м². Один квадратный метр равен 10000 см² (так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$).

Теперь составим уравнения на основе условия задачи:

1. Гипотенуза больше на 9 см одного из катетов:

$(x + 9)^2 = x^2 + y^2$

2. Гипотенуза больше на 8 см другого катета:

$(y + 8)^2 = x^2 + y^2$

Теперь решим эту систему уравнений.

1. Раскроем скобки в первом уравнении:

$x^2 + 18x + 81 = x^2 + y^2$

2. Раскроем скобки во втором уравнении:

$y^2 + 16y + 64 = x^2 + y^2$

Теперь выразим $y$ из первого уравнения и подставим во второе:

$y^2 + 16y + 64 = 18x + 81$

$y^2 + 16y + 64 - 18x - 81 = 0$

$y^2 + 16y - 18x - 17 = 0$

Далее, решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$y = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot (-18) \cdot (-17)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 1224}}{2}$

$y = \frac{-16 \pm \sqrt{-968}}{2}$

Так как у нас появляется комплексный корень, значит, треугольник нельзя построить в реальности, и задача не имеет решения. Возможно, в условии была допущена ошибка.

Если вы уверены, что условие верно, пожалуйста, проверьте его и предоставьте правильные значения для гипотенузы и катетов, и я смогу помочь вам решить задачу заново.