Question

Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Answer 1

p - полупериметр

BA1 = p-AB = AB1

CB1 = p-BC = BC1

AC1 = p-AC = CA1

BA1 *CB1 *AC1 = AB1 *BC1 *CA1

следовательно чевианы AA1, BB1, CC1 проходят через одну точку.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Чевы. Теорема Чевы утверждает, что для произвольного треугольника ABC, если точки D, E и F лежат на сторонах BC, AC и AB соответственно, то прямые, проходящие через вершины A, B и C, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие:

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$

Теперь предположим, что точки D, E и F - это точки деления сторон треугольника на равные отрезки, то есть BD = DC, CE = EA и AF = FB. Докажем, что в этом случае прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Пусть точка D делит сторону BC на два равных отрезка BD и DC, точка E делит сторону AC на два равных отрезка CE и EA, а точка F делит сторону AB на два равных отрезка AF и FB.

Теперь применим теорему Чевы к точкам D, E и F:

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = \frac{BD}{BD} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}$$

Так как BD = DC, CE = EA и AF = FB, то выражение становится:

$$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$

Таким образом, получаем, что:

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$

Следовательно, прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.