Question

Помогите пожалуйста. найти две взаимно перпендикулярные плоскости проходящие через прямую пересечения плоскостей х=у и z=0, если одна из искомых плоскостей проходит через точку К(0; 4; 2)​

Answer 1

возьму 2 точки на прямой и третью заданную и составлю уравнение через 3 точка

A(0;0;0); B(4;4;0);C(0;4;2)

тогда определитель (вычитается везде точка А)

x     y      z

4    4       2   =0

0    4      2

8x-8y+16z=0

x-y+2z=0-первое уравнение плоскости

нормаль к этой плоскости n(1;-1;2)-будет направляющим вектором второй плоскости  как и направляющий вектор прямой. Тогда уравнение второй плоскости через n , направляющий вектор прямой пересечения n1(1;-1;0) и точку А запишется через определитель

x       y      z

1       -1      0  =  0

1      -1       2

x(-2+0)-y(2-0)+z(-1+1)=0

-2x-2y=0

x+y=0-вторая плоскость

Answer 2

Для того чтобы найти две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через прямую пересечения плоскостей x=y и z=0 и одновременно проходящие через точку К(0; 4; 2), мы можем использовать следующий подход.

1. Найдем направляющий вектор для прямой пересечения плоскостей x=y и z=0: Так как x=y, можно записать уравнение прямой в параметрической форме: x=t y=t z=0 Направляющий вектор прямой будет (1, 1, 0).

2. Найдем направляющий вектор для прямой, проходящей через точку К(0; 4; 2): Этот направляющий вектор будет равен разности между координатами точки К и началом координат (0; 0; 0): Направляющий вектор = (0-0, 4-0, 2-0) = (0, 4, 2).

3. Для того чтобы две плоскости были взаимно перпендикулярны, их нормальные векторы должны быть перпендикулярны. Так как проходящая через точку К плоскость будет одной из искомых, её нормальный вектор должен быть перпендикулярен направляющему вектору прямой из пункта 2. Иными словами, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

   Пусть нормальный вектор плоскости, проходящей через точку К, будет (a, b, c). Тогда условие перпендикулярности будет: (0, 4, 2) * (a, b, c) = 0 (0 * a) + (4 * b) + (2 * c) = 0 4b + 2c = 0 2b + c = 0 (делаем упрощение, так как у нас бесконечное количество решений, связанных с множителем перед нормальным вектором).

   Выберем, например, b=1 и c=-2. Тогда a необходимо найти.

4. Мы нашли одну из плоскостей, проходящих через точку К и перпендикулярную прямой из пункта 2: Плоскость 1: a*x + y - 2z = 0

5. Теперь найдем вторую плоскость, которая будет перпендикулярна к первой плоскости и проходить через прямую пересечения плоскостей x=y и z=0.

   Нормальный вектор второй плоскости должен быть перпендикулярен нормальному вектору первой плоскости (a, 1, -2). Таким образом, он должен быть коллинеарен вектору (1, 1, 0) (направляющий вектор прямой пересечения плоскостей x=y и z=0).

   Возьмем b=1 и c=1. Тогда a=-2 (для упрощения условия перпендикулярности).

6. Мы нашли вторую плоскость: Плоскость 2: -2x + y + z = 0

Таким образом, две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через прямую пересечения плоскостей x=y и z=0 и через точку К(0; 4; 2), имеют уравнения:

Плоскость 1: x + y - 2z = 0 Плоскость 2: -2x + y + z = 0