Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см.Двугранный угол при основании равен 60 градусам.Найдите объём пирамиды.

Answer 1

Объяснение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой пирамиды,ее высотой и радиусом вписанной окружности:

Угол между апофемой и радиусом равен 60°,значит противоположный - 30°( угол между высотой пирамиды и ее основанием равен 90°)

Значит,т.к. радиус лежит напротив угла в 30°,то он равен половине гипотенузы и равен 4 см

Следовательео,высота пирамиды равна:

$\sqrt{8 {}^{2} - 4 {}^{2} } = 4 \sqrt{3}$

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен:

а=2r√3, где r- радиус вписанной окружности,a- сторона равностороннего треугольника.

Подставим значения и найдем сторону основания:

а=2*4*√3=8√3 см

Площадь основания равна:

(а^2√3)/4=

$((8 \sqrt{3} ) {}^{2} \sqrt{3}) \div 4 = (64 \times 3 \times \sqrt{3} ) \div 4 = 48 \sqrt{3}$

V=1/3*Площадь основания*высоту=1/3*4√3*48√3=192

Answer 2

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, необходимо знать ее апофему (расстояние от вершины до середины стороны основания) и площадь основания. В данном случае, площадь основания треугольной пирамиды неизвестна.

Однако, мы можем использовать информацию о двугранном угле при основании. Поскольку двугранный угол равен 60 градусам, основание треугольника является равносторонним треугольником.

В равностороннем треугольнике длина стороны основания равна апофеме умноженной на 2/√3. В данном случае, апофема равна 8 см, поэтому длина стороны основания будет равна:

сторона основания = 8 см * 2/√3 ≈ 9.237 см (округленно до трех десятичных знаков)

Теперь, мы можем использовать формулу для объема треугольной пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Поскольку у нас равносторонний треугольник в качестве основания, его площадь можно найти с помощью формулы:

S = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны основания.

Подставляя значения, получаем:

S = (9.237 см)^2 * √3 / 4 ≈ 35.823 см² (округленно до трех десятичных знаков)

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя апофему:

h = √(a^2 - ap^2),

где ap - апофема.

Подставляя значения, получаем:

h = √((9.237 см)^2 - (8 см)^2) ≈ 3.728 см (округленно до трех десятичных знаков)

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * 35.823 см² * 3.728 см ≈ 42.027 см³ (округленно до трех десятичных знаков)

Таким образом, объем треугольной пирамиды равен примерно 42.027 см³.