Question

Два кола мають зовнішній дотик к точці А, точки В і С - точки дотику до цих кіл їх спільної дотичної, Доведіть, що кут ВАС - прямий

Answer 1

Ответ: см.рис.

Объяснение:

Answer 2

Для доведення, що кут ВАС є прямим, ми використаємо властивість дотичних до кола.

Припустимо, що ми маємо два кола, і кожне з них має зовнішній дотик до точки А. Точки В і С є точками дотику цих кол до їх спільної дотичної. Для простоти позначимо ці кола як коло 1 і коло 2.

Крім того, ми позначимо центри цих кол як O1 і O2 відповідно.

Оскільки точка В - це точка дотику кола 1 зі спільною дотичною, то лінія, що проходить через точку В і центр кола 1 (O1), буде перпендикулярна до спільної дотичної. Тобто, лінія ВО1 буде перпендикулярна до лінії АВ.

Так само, оскільки точка С - це точка дотику кола 2 зі спільною дотичною, то лінія, що проходить через точку С і центр кола 2 (O2), буде перпендикулярна до спільної дотичної. Тобто, лінія СО2 буде перпендикулярна до лінії АС.

Зауважимо, що лінії ВО1 і СО2 - це відрізки, що з'єднують центри кол з точками дотику кол до спільної дотичної. Оскільки центри кол O1 і O2 рівні відстані від точки А (зовнішній дотик), тобто О1А = О2А, і дві сторони перпендикулярів також рівні (О1В = О2С), то трикутник ВО1О2 і СО2О1 - рівнобедрені.

Тепер звернемо увагу на кути ВО1А і СО2А. Вони спільні кути у рівнобедрених трикутниках ВО1О2 і СО2О1. Так як трикутники рівнобедрені, то кути ВО1А і СО2А рівні між собою. Оскільки ВО1А є прямим кутом (перпендикулярна лінія АВ), то і СО2А також є прямим кутом (оскільки вони рівні).

Таким чином, кут ВАС є прямим кутом, що і потрібно було довести.