Question

У прямокутному трикутнику AMK кут M= 90 ° AC - бісектриса кута , кут MAK =60° Знайдіть давжину катета MK , якщо MC = 3 см с картинкой ​

Answer 1

У прямокутному трикутнику AMK кут M= 90 ° AC - бісектриса кута , кут MAK =60° Знайдіть давжину катета MK , якщо MC = 3 см с картинкой ​

Answer 2

Для вирішення даної задачі нам знадобиться використати теорему синусів і властивості бісектриси.

Давайте позначимо довжини сторін трикутника AMK:

AK = a (катет) MK = b (що ми хочемо знайти) MC = 3 см

Згідно теореми синусів, маємо:

$\frac{a}{\sin M} = \frac{b}{\sin K}$

Де M - кут при вершині M, а K - кут при вершині K.

Ми знаємо, що кут M = 90°, а кут MAK = 60°.

Тепер звернемо увагу на трикутник AMC. Оскільки AC - бісектриса кута, то ми знаємо, що

$\frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KC}$

Підставимо вирази знаходження сторін за теоремою синусів у цю рівність:

$\frac{a}{3} = \frac{b}{KC}$

З рівності виразимо KC:

$KC = \frac{3b}{a}$

Тепер розглянемо трикутник MKC:

$\frac{MK}{KC} = \sin MAK = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Підставимо вираз, який ми знаходимо для KC:

$\frac{MK}{\frac{3b}{a}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тепер знайдемо MK:

$MK = \frac{3b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тепер нам потрібно знайти співвідношення між сторонами трикутника AMK, щоб знайти $a$ і $b$.

Зглянемо на прямокутний трикутник AMK:

$\sin 60° = \frac{a}{c}$

де $c$ - гіпотенуза трикутника AMK.

Також, ми знаємо, що $\sin 90° = \frac{a}{c}$.

Порівняємо ці два вирази:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c}$

$c = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

Тепер, з використанням теореми Піфагора, ми можемо знайти $b$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Підставимо значення $c$:

$a^2 + b^2 = \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2$

$a^2 + b^2 = \frac{4a^2}{3}$

$b^2 = \frac{4a^2}{3} - a^2$

$b^2 = \frac{a^2}{3}$

$b = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Тепер, знаючи вираз для $b$, підставимо в наше попереднє рівняння для MK:

$MK = \frac{3b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$