Question

У прямокутному трикутнику АВС (кут С=90 градусів), АС=4см, cosкута А=4/5. Знайдіть другий катет і гіпотенузу трикутника.

Answer 1

Ответ:

5 cm;3 cm.

Объяснение:

AB=AC/cosA=4/(4/5)=5 cm

BC=✓(AB2-AC2)=✓(5*5-4*4)=✓9=3 cm

Answer 2

Давайте позначимо другий катет як $BC$ і гіпотенузу як $AB$. Ми знаємо, що $\angle A = 90^\circ$, і дано $\cos A = \frac{4}{5}$. Ми також знаємо, що $AC = 4 \, \text{см}$.

Ми можемо скористатися тригонометричним співвідношенням $\cos A = \frac{{\text{прилеглий катет}}}{{\text{гіпотенуза}}}$. Замінимо відомими значеннями:

$\cos A = \frac{4}{5} = \frac{BC}{AB}$

Тепер, щоб знайти $BC$, ми можемо перенести $AB$ у ділену частину рівняння:

$BC = \frac{4}{5} \cdot AB$

Також, ми знаємо, що в прямокутному трикутнику справедливе теорема Піфагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Підставимо відомі значення:

$AB^2 = 4^2 + \left(\frac{4}{5} \cdot AB\right)^2$

Розв'яжемо рівняння:

$AB^2 = 16 + \frac{16}{25} \cdot AB^2$

Помножимо все на 25, щоб позбутися дробів:

$25 \cdot AB^2 = 25 \cdot 16 + 16 \cdot AB^2$

$25AB^2 = 400 + 16AB^2$

Тепер перенесемо все на одну сторону рівняння:

$25AB^2 - 16AB^2 = 400$

$9AB^2 = 400$

Тепер розділимо обидві сторони на 9, щоб знайти $AB^2$:

$AB^2 = \frac{400}{9}$

Зараз, щоб знайти $AB$, просто використаємо квадратний корінь:

$AB = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}\, \text{см}$

Тепер, щоб знайти $BC$, можемо підставити $AB$ у попереднє рівняння:

$BC = \frac{4}{5} \cdot \frac{20}{3} = \frac{16}{3}\, \text{см}$

Отже, другий катет $BC = \frac{16}{3}\, \text{см}$ і гіпотенуза $AB = \frac{20}{3}\, \text{см}$.