Question

30 баллов! Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а их длины равны a. Найдите косинус угла, образованного плоскостью боковой грани с плоскостью основания.

Answer 1

Для нахождения косинуса угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания треугольной пирамиды, нам понадобятся знания из геометрии.

Пусть a - длина бокового ребра треугольной пирамиды. Так как боковые ребра взаимно перпендикулярны, то пирамида имеет форму правильного треугольника на основании.

Предположим, что наша треугольная пирамида расположена в пространстве так, что ее верхний вершинный угол (угол между боковой гранью и основанием) равен α. Этот угол α будет одинаковым для всех трех боковых граней.

Так как пирамида является правильным треугольником, все ее грани равнобедренные. Значит, углы при основании пирамиды также равны между собой.

Возьмем одну из боковых граней и проведем высоту из вершины этой грани к основанию. Эта высота разделит боковую грань на два прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза равна a (длине бокового ребра), а один из катетов равен половине стороны основания, то есть a/2.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой a и катетом a/2. Мы хотим найти косинус угла α, образованного этой гранью с основанием пирамиды.

Косинус угла α можно выразить через соотношение катета и гипотенузы:

cos(α) = adjacent / hypotenuse = (a/2) / a = 1/2

Итак, косинус угла, образованного плоскостью боковой грани с плоскостью основания, равен 1/2.