Question

Докажите,что биссектрисы в равных треугольниках,проведённые из вершин соответственных углов равны

Answer 1

Пусть ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, надо доказать, что биссектрисы равных углов равны, т.е. что АК = А₁К₁.

АС = А₁С₁ из равенства треугольников,

∠КСА = ∠К₁С₁А₁ из равенства треугольников,

∠КАС = ∠К₁А₁С₁ как половины равных углов,

значит ΔАКС = ΔА₁К₁С₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам, следовательно и АК = А₁К₁ как стороны равных треугольников, лежащие напротив равных углов.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим два равных треугольника: треугольник ABC и треугольник DEF.

Пусть биссектрисы углов B и D пересекаются в точке P. Также, пусть биссектрисы углов C и E пересекаются в точке Q.

Мы хотим доказать, что отрезки BP и DP равны. Для этого воспользуемся противоположными углами и свойством биссектрисы.

Рассмотрим треугольник BPC:

1. Угол ABC равен углу DEF, так как треугольники ABC и DEF равны (по условию).
2. Угол BPC является общим для обоих треугольников.
3. Таким образом, треугольники BPC и DPE равны по углам (по угловой стороне).

Теперь обратим внимание на биссектрисы:

4. Биссектриса угла ABC проходит через точку P, и она делит угол BPC на два равных угла.
5. Биссектриса угла DEF проходит через точку P, и она делит угол DPE на два равных угла.

Теперь мы знаем, что треугольники BPC и DPE равны по угловой стороне, а также углы при P равны в этих треугольниках.

По свойству равных треугольников отрезки BP и DP должны быть равны, так как они являются сторонами равных треугольников.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов B и D в равных треугольниках ABC и DEF равны. Аналогично можно доказать равенство биссектрис углов C и E.