Question

Помогите РЕШИТЬ Пожалуйста Вокруг равностороннего треугольника ABC со стороной а, описано круг и середины дуг AB, BC, AC последовательно соединены с вершинами треугольника. Докажите, что стороны и углы образовавшегося шестиугольника равны и найдите их меры.На укр.: Навколо рівностороннього трикутника ABC зі стороною а описано коло і середини дуг AB, BC, AC послідовно сполучено з вершинами трикутника. доведіть що сторони і кути утвореного шестикутника рівні та знайдіть їх міри

Answer 1

Равные хорды стягивают равные дуги.

AB=BC=CA => ∪AB=∪BC=∪CA

Середины делят равные дуги пополам. Шесть равных дуг.

Равные дуги опираются на равные хорды.

Равные отрезки образуют правильный шестиугольник.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (по одному при вершине) равна 360.

Внешний угол правильного шестиугольника 360/6=60, следовательно смежный с ним внутренний 120.

Answer 2

Для доказательства равенства сторон и углов образовавшегося шестиугольника рассмотрим ситуацию подробнее.

Обозначим точки середин дуг как P, Q и R (соответственно середины дуг AB, BC и AC), а точки вершин треугольника как A, B и C.

1. Стороны шестиугольника: Рассмотрим треугольник PAB. Так как P - середина дуги AB, то угол PAB равен углу PBA (они равны половине центрального угла на окружности, опирающегося на ту же дугу AB). Так как треугольник ABC равносторонний, то угол BAC также равен углу PAB. Из этого следует, что треугольник PAB - равнобедренный, и PA = PB.

Аналогично рассмотрим треугольник QBC. Угол QBC равен углу QCB, который в свою очередь равен углу BAC. Таким образом, треугольник QBC также равнобедренный, и QB = QC.

Наконец, рассмотрим треугольник RCA. Угол RCA равен углу RAC, который также равен углу BAC. Таким образом, треугольник RCA тоже равнобедренный, и RA = RC.

Итак, стороны шестиугольника равны: PA = PB = a QB = QC = a RA = RC = a

2. Углы шестиугольника: Так как стороны шестиугольника равны, а шестиугольник замкнут, то углы этого шестиугольника также равны. Обозначим угол между сторонами PA и QB как α, угол между сторонами QB и RA как β, и угол между сторонами RA и PA как γ.

Из свойств равнобедренных треугольников следует, что угол α равен углу QBA, угол β равен углу RCB, и угол γ равен углу APC. Из равносторонности треугольника ABC следует, что угол QBA равен углу RCB, и оба равны углу APC (они составляют половину центрального угла на окружности, опирающегося на дугу BC).

Таким образом, углы α, β и γ шестиугольника равны между собой.

Итак, шестиугольник, образованный путем соединения середин дуг треугольника ABC с его вершинами, является правильным (равносторонним) шестиугольником. Все его стороны равны а, и все его углы равны между собой. Мера каждого угла равна 120° (сумма всех углов равна 720°).

Таким образом, доказано, что стороны и углы образованного шестиугольника равны, и их меры равны 120°.