Question

Срочно нужно!!! 1. Две касательные к окружности параллельны. Докажите, что расстояние между ними равно диаметру этой окружности. 2. Две окружности касаются друг друга, а их радиусы относятся как 5 : 7. Чему равны эти радиусы, если расстояние между центрами окружностей равно 36?

Answer 1

1) Расстояние между параллельными прямыми - длина перпендикуляра. Проведем общий перпендикуляр AB к прямым через центр окружности O. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Через точку можно провести только один перпендикуляр к прямой. Следовательно OA и OB - радиусы. Длина перпендикуляра AB равна двум радиусам, то есть диаметру.

2) Окружности имеют точку касания, следовательно общую касательную. Проведем радиусы в точку касания. Радиусы перпендикулярны касательной и составляют развернутый угол. Точка касания лежит на линии центров. Расстояние между центрами равно сумме радиусов.

R1=5x, R2=7x

R1+R2 =12x =36 => x=3

R1=15, R2=21

Answer 2

1. Докажем, что две касательные к окружности, параллельные одна другой, имеют расстояние между собой, равное диаметру этой окружности.

Пусть у нас есть окружность с центром O и радиусом R. Проведем две касательные к этой окружности, которые параллельны друг другу. Пусть точки касания касательных с окружностью обозначим как A и B.

Так как касательные параллельны, то углы AOB и AB равны 90 градусов (так как они противоположные углы). Также угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, также равен 90 градусов.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник OAB с прямым углом O, и две его стороны - это радиус R и расстояние между касательными, которое обозначим как d.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

R^2 = d^2 + (AB)^2

Но так как AB является диаметром окружности, то его длина равна 2R:

R^2 = d^2 + (2R)^2

R^2 = d^2 + 4R^2

d^2 = R^2

d = R

Таким образом, расстояние между параллельными касательными к окружности равно диаметру этой окружности.

2. Пусть у нас есть две окружности с радиусами r1 и r2, которые касаются друг друга внешним образом. Также дано, что их радиусы относятся как 5:7 (r1:r2 = 5:7) и расстояние между их центрами равно 36.

Мы знаем, что для окружностей, касающихся внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

r1 + r2 = 36

Также, по условию, r1:r2 = 5:7. Мы можем представить r1 и r2 как 5x и 7x соответственно, где x - некоторый коэффициент.

Теперь можем записать уравнение:

5x + 7x = 36

12x = 36

x = 36/12

x = 3

Теперь, зная x, найдем значения r1 и r2:

r1 = 5x = 5 * 3 = 15

r2 = 7x = 7 * 3 = 21

Итак, радиусы окружностей равны 15 и 21.