Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD плоскость, проведенная через сторону AD перпендикулярно к грани SBC, делит эту грань на две равновеликие части. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если AD=a​

Answer 1

//////////////////////////////////////////////

Answer 2

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды SABCD, давайте рассмотрим, как плоскость, проходящая через сторону AD перпендикулярно к грани SBC, делит эту грань на две равновеликие части.

Обозначим точку пересечения плоскости с гранью SBC за точку P. Так как плоскость делит грань SBC на две равные части, то SP равно PC.

Также, в силу симметрии пирамиды, плоскость, проходящая через середину грани SBC параллельно к стороне AD, также делит пирамиду на две равные части. Обозначим точку пересечения этой плоскости с гранью SAB за точку Q.

Теперь у нас есть пирамида SABCD, разбитая на четыре равные части: SABQ, SBQC, SBCP и SPCD.

Давайте обозначим сторону пирамиды (от вершины к основанию) за h (высоту пирамиды) и за a (сторону AD). Тогда треугольник SPD (правильный треугольник) имеет сторону равной a, и треугольник SPC - это равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами a, a/2 и h (половина высоты пирамиды).

Площадь треугольника SPD: $S_{\text{SPD}} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$

Площадь треугольника SPC: $S_{\text{SPC}} = \frac{1}{2} \times a \times h$

Теперь остается найти площадь треугольника SAB и умножить ее на 4, так как четыре треугольника SABQ, SBQC, SBCP и SPCD имеют одинаковую площадь.

Площадь треугольника SAB: $S_{\text{SAB}} = \frac{1}{2} \times a \times \left(\frac{a}{2} + h\right)$

Теперь площадь полной поверхности пирамиды SABCD: $S_{\text{полная}} = 4 \times S_{\text{SAB}} + S_{\text{SPC}} + S_{\text{SPD}}$

Подставляем значения: $S_{\text{полная}} = 4 \times \left(\frac{1}{2} \times a \times \left(\frac{a}{2} + h\right)\right) + \frac{1}{2} \times a \times h + \frac{a^2}{4}$

Упрощаем выражение: $S_{\text{полная}} = 2ah + ah + \frac{a^2}{4} = \frac{9}{4} \times a \times h$

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна $\frac{9}{4} \times a \times h$.