Question

30 БАЛЛОВ! Каждую сторону квадрата разделили на три равные части и соединили последовательно восемь получившихся точек. Найдите площадь образовавшегося многоугольника, если сторона квадрата равна 9.

Answer 1

Внутри квадрата таким образом образовался 8-угольник и 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 3.

Чтобы узнать площадь образовавшегося многоугольника, нужно от площади квадрата отнять сумму 4-х треугольников при вершинах квадрата.

Площадь квадрата:

    S◻ = a² = 9² = 81 (кв. ед.)

Найдем площадь одного из треугольников^

    SΔ = (ab)/2= (3·3)/2 = 9/2 (кв. ед.)

Найдем площадь 8-угольника:

    S₈ = S◻ − SΔ = 81−(4·(9/2)) = 81−18 = 63 (кв. ед.)

Ответ: Площадь образовавшегося многоугольника равна 63 кв. ед.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Сначала мы делим каждую сторону квадрата на три равные части. Поскольку сторона квадрата равна 9, каждая из трех частей будет равна 3 (9 / 3 = 3).

2. Затем соединяем последовательно восемь получившихся точек. Это образует восьмизвенный многоугольник, у которого стороны будут состоять из отрезков длиной 3.

3. Теперь давайте вычислим площадь этого многоугольника. Для этого нам нужно разбить его на треугольники и сложить их площади.

4. Мы можем заметить, что это фактически восьмизвенный многоугольник можно разделить на четыре равных треугольника, как показано на рисунке ниже:

markdownCopy code
   ___
  |\  \
  | \  \
  |  \  \
  |___\__\
  |   |   |
  |___|___|

Каждый из этих четырех треугольников будет равнобедренным треугольником со сторонами 3, 3 и 3 (так как стороны многоугольника состоят из отрезков длиной 3). Такие треугольники можно разделить на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты длиной 3 и гипотенузу длиной 3√2.

5. Таким образом, площадь одного прямоугольного треугольника равна (3 * 3√2) / 2 = 4.5√2.

6. Поскольку у нас есть четыре таких треугольника, общая площадь многоугольника будет 4 * 4.5√2 = 18√2.

Итак, площадь образовавшегося многоугольника составляет 18√2, что приближенно равно 25.46 (округлено до двух знаков после запятой).