Question

В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 4 и 8, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, равна 6 . Найти площадь полной поверхности пирамиды. ( подсказка: в правильной треугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные треугольники, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями.)

Answer 1

В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 4 и 8, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, равна 6 . Найти площадь полной поверхности пирамиды. ( подсказка: в правильной треугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные треугольники, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями.)

Answer 2

Для решения данной задачи, обозначим верхнюю вершину усеченной пирамиды как A, а нижние вершины основания (большего треугольника) как B, C, D, а малого треугольника как E, F, G, так что BE = 4, CG = 8. Также обозначим точку пересечения высоты из вершины A с основанием малого треугольника EFG как H.

Так как в основаниях лежат правильные треугольники, то длина бокового ребра боковой равнобедренной трапеции (BC и EF) равна стороне малого треугольника (BE = 4). Поэтому EF = BC = 4.

Теперь рассмотрим сечение, проходящее через боковое ребро и середину противоположной стороны основания. Обозначим точку середины стороны CD как M. Так как трапеция BCDE является равнобедренной, то средняя линия (прямая, соединяющая середины оснований) параллельна основаниям и равна полусумме оснований, то есть BM = $\frac{4+8}{2} = 6$.

Также, поскольку пирамида правильная, высота (AH) проходит через точку M и делит ее пополам. Значит, HM = 3.

Теперь у нас есть сторона EF = 4 и высота HM = 3 прямоугольного треугольника EHM, поэтому можем найти длину бокового ребра EH с помощью теоремы Пифагора: EH^2 = EF^2 + HM^2 EH^2 = 4^2 + 3^2 EH^2 = 16 + 9 EH^2 = 25 EH = 5

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды (высоту AM), воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AMH: AM^2 = AH^2 + HM^2 AM^2 = 4^2 + 3^2 AM^2 = 16 + 9 AM^2 = 25 AM = 5

Теперь, когда у нас есть сторона и высота малого треугольника, можем найти его площадь: Площадь малого треугольника EFG = $\frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$.

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, нужно сложить площади боковых поверхностей всех боковых равнобедренных трапеций. Так как в пирамиде 4 боковые грани, то общая площадь боковой поверхности равна $4 \times 10 = 40$.

Наконец, найдем площадь основания большего треугольника. Величина BC равна 4, поскольку правильные треугольники имеют равные стороны, а высота AM равна 5, что даёт площадь большего треугольника ABC: Площадь ABC = $\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$.

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно сложить площадь основания и боковой поверхности: Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности Площадь полной поверхности = 10 + 40 = 50.

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 50.