Question

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, точки K, L, M, N - середины отрезков AD, BC, AC і DB соответственно. Докажите, что KN = ML​

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим два треугольника АВD и АВС

Так как 4 точки не лежат на одной плоскости, то точки А,В и С   не лежат на одной прямой. Также и А,В,D  - значит такие треугольники существуют и имеют общую сторону АВ.

КN - средняя линия в треугольнике  АВD и значит равна АВ/2

Также  МL - средняя линия в треугольнике АВС и равна АВ/2.

Значит МL=КN

Сказанное проилюстрировано рисунком.

На нем  4 точки не лежащие в одной плоскости и образованные ими два треугольника с одной общей стороной.

Answer 2

Для доказательства того, что KN = ML, воспользуемся свойством, что в параллелограмме диагонали делятся пополам.

Дано:

1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.
2. Точки K, L, M, N - середины отрезков AD, BC, AC и DB соответственно.

Доказательство: Посмотрим на параллелограмм ABDC:

cssCopy code
A------N------B
|             |
|             |
K------M------L
|             |
|             |
D------C------|

1. Из свойств параллелограмма знаем, что диагонали его делят пополам. То есть, KM = ML (потому что KM - это половина диагонали AB, а ML - это половина диагонали DC).

2. Точно также, KN = ND (половина диагонали AD) и NL = LD (половина диагонали BC).

3. Но мы знаем, что точки K, L, M, N - середины соответствующих сторон. Это значит, что KM || AB и KN || AD, а также ML || DC и NL || BC.

4. Теперь рассмотрим параллельные прямые KN и ML. Они обе параллельны и лежат на стороне AC параллелограмма ABDC. Таким образом, эти прямые совпадают и KN = ML.

Таким образом, мы доказали, что KN = ML, и это следует из свойств параллелограмма.