Question

Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні 2:3, а радіус описаного кола дорівнює см. Знайдіть площу прямокутника.

Answer 1

Ответ:

216 см2

Объяснение:

Пояснення у фото

Answer 2

Для вирішення цієї задачі, спочатку зобразимо ситуацію. Нехай ABCD - прямокутник, а E - точка перетину бісектриси кута BCD і діагоналі AC.

За умовою, бісектриса кута BCD ділить діагональ AC у відношенні 2:3. Позначимо довжину діагоналі AC як d. Тоді довжини AE і EC будуть, відповідно, (2/5)d і (3/5)d.

Також, за властивостями прямокутника, діагоналі є діаметрами кола, описаного навколо нього. Позначимо радіус описаного кола як R. За властивостями кола, радіус описаного кола дорівнює половині діагоналі прямокутника, тобто R = d/2.

Тепер, ми можемо записати рівняння за теоремою Піфагора для трикутника AEC:

AE^2 + EC^2 = AC^2

Підставимо вирази для AE і EC:

(2/5)d^2 + (3/5)d^2 = d^2

Тепер, розв'яжемо рівняння для d^2:

(2/5)d^2 + (3/5)d^2 = d^2 (2/5 + 3/5)d^2 = d^2 (5/5)d^2 = d^2 d^2 = d^2

Це рівняння є тотожнім, що означає, що вираз для d^2 є вірним. Таким чином, ми отримуємо, що довжина діагоналі d дорівнює d.

Тепер знаємо довжину діагоналі, можемо знайти площу прямокутника ABCD.

Площа прямокутника S дорівнює добутку його сторін:

S = AB * BC

Так як діагоналі прямокутника ABCD є діагоналями, то:

S = AC * BD

Таким чином:

S = d * d = d^2

Знаючи, що d = R * 2, підставимо R = d/2:

S = (d/2) * (d/2) = d^2 / 4

Отже, площа прямокутника ABCD дорівнює d^2 / 4.

Так як умова не надавала конкретного значення для довжини діагоналі або радіуса кола, ми не можемо знайти конкретне числове значення площі. Однак, за допомогою відношень, даного розв'язку можна виразити у термінах R або іншого параметра, якщо зазначені більше деталі.