Question

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота AD. Определите длину AD, если BD = 4 см, DC = 9 см. Указание: для решения воспользуйтесь утверждением, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных друг другу. Дайте подробный ответ.

Answer 1

Ответ:

AD=6 СМ

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и их высот.

Утверждение: Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника, которые подобны самому исходному треугольнику и друг другу.

Давайте обозначим длину отрезка AD (высоту) за h.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то можем воспользоваться теоремой Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2

Где AB и BC - катеты треугольника, а AC - его гипотенуза.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем найти значения длины его сторон. Из задачи нам дано, что BD = 4 см и DC = 9 см. Мы знаем, что AD - это искомая высота, а CD - это другая часть высоты (высота, опущенная из вершины C).

Теперь мы можем применить свойства подобных треугольников. Треугольники ABC и ADC подобны друг другу (так как у них углы совпадают), и кроме того, треугольники ABC и ABD тоже подобны (так как у них углы совпадают).

Теперь мы можем записать отношения длин сторон подобных треугольников:

1. Отношение сторон треугольников ABC и ADC: AD / CD = AB / BC

2. Отношение сторон треугольников ABC и ABD: AB / BD = AC / CD

Теперь заменим известные значения: AB = BD + AD = 4 см + h BC = DC = 9 см AC = AB + BC = (4 см + h) + 9 см = 13 см

Теперь подставим значения в отношения:

1. AD / CD = (BD + AD) / DC h / CD = (4 см + h) / 9 см

2. AB / BD = AC / CD (4 см + h) / 4 см = 13 см / CD

Теперь решим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим CD: CD = (9 см * h) / (4 см + h)

Подставим найденное значение CD во второе уравнение: (4 см + h) / 4 см = 13 см / ((9 см * h) / (4 см + h))

Теперь избавимся от знаменателей, умножив обе стороны уравнения на (4 см + h): (4 см + h)^2 = 4 см * 13 см

Раскроем скобку: 16 см^2 + 8 см * h + h^2 = 52 см^2

Перенесем все в левую часть уравнения: h^2 + 8 см * h - 36 см^2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Найдем его корни, используя дискриминант:

D = b^2 - 4ac где a = 1, b = 8 см и c = -36 см^2

D = 8^2 - 4 * 1 * (-36) D = 64 + 144 D = 208

Теперь найдем корни уравнения: h = (-b ± √D) / 2a h = (-8 ± √208) / 2 * 1 h = (-8 ± √(16 * 13)) / 2 h = (-8 ± 4√13) / 2 h = -4 ± 2√13

Поскольку длина AD не может быть отрицательной, отбросим отрицательное значение: h = -4 + 2√13

Таким образом, длина высоты AD равна -4 + 2√13 см (приближенно 3.15 см).