Question

Даю 100 балов Дано трикутник АВС, А(−3; −2), В(1; 4), С(2; −1). Знайти у градусах величину кута А.

Answer 1

вектор_AB = ( 1+3; 4+2) = ( 4; 6),

вектор_AC = ( 2+3;  -1+2) = ( 5; 1),

Найдем скалярное произведение этих векторов, разными способами.

вектор_AB*вектор_AC = (4;6)*(5;1) = 4*5+6*1 = 20+6 = 26,

вектор_AB*вектор_AC = |AB|*|AC|*cos(∠A) =

$= \sqrt{4^2+6^2}\cdot \sqrt{5^2+1^2}\cdot\cos{\angle A} =$

$= \sqrt{16+36}\cdot \sqrt{25+1}\cdot\cos{\angle A} =$

$= \sqrt{52}\cdot\sqrt{26}\cdot\cos{\angle A} = 26$

$\cos{\angle A} = \frac{26}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{26}}$

$\cos{\angle A} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{52}} =$

$= \sqrt{\frac{26}{52}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle A = \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 45^\circ$.

Ответ. 45°.

Answer 2

Для того чтобы найти величину угла А в треугольнике АВС, можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения угла А выглядит следующим образом:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc

Где:

• a, b, c - длины сторон треугольника АВС противолежащие углу А, В и С соответственно.

В данном случае, чтобы найти угол А, нам нужно знать длины сторон АВ и АС.

Длина стороны АВ: AB = √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2] = √[(1 - (-3))^2 + (4 - (-2))^2] = √[4^2 + 6^2] = √52 = 2√13

Длина стороны АС: AC = √[(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2] = √[(2 - (-3))^2 + (-1 - (-2))^2] = √[5^2 + 1^2] = √26

Теперь мы можем использовать формулу теоремы косинусов:

cos(A) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / 2 * AB * AC

где BC - длина стороны BC.

Длина стороны BC: BC = √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2] = √[(2 - 1)^2 + (-1 - 4)^2] = √[1^2 + (-5)^2] = √26

Теперь можем вычислить cos(A):

cos(A) = (2√13)^2 + (√26)^2 - (√26)^2) / 2 * 2√13 * √26 cos(A) = (52 + 26 - 26) / 2 * 2√13 * √26 cos(A) = 52 / 52√338 cos(A) = 1 / √338

Теперь найдем значение угла А:

A = arccos(1 / √338) ≈ 83.34°

Таким образом, величина угла А треугольника АВС составляет приблизительно 83.34 градусов.