Question

Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность с центром О. Найдите площадь трапеции если угол BOA = 60, высота трапеции = h. 50 баллов

Answer 1

Ответ:

S трапеции = $h^2\sqrt{3}$ см²

Объяснение:

Так как сумма противолежащих углов в трапеции составляет 180 градусов(по свойству вписанного четырехугольника), то трапеция - равнобокая.

S трапеции = $\frac{a+b}{2} *h = \frac{BC+AD}{2}*h$

Проведем высоту BH, она отсекает 2 отрезка(AH и HD), бóльший отрезок равен полусумме оснований(по свойству равнобокой трапеции), тогда можно найти площадь трапеции по другой формуле:

S = $></p> <p>∠ AOB = 60°(по условию) и он центральный, равен ∪AB. Проведем диагональ BD,<strong> ∠ADB - вписанный, и равен половине ∪AB = 30°.</strong></p> <p><strong>Рассмотрим ΔBHD:</strong></p> <p>BH = h(по условию)</p> <p>∠HDB = 30°</p> <p>Надо найти: HD - ?</p> <p><img src=$

$S = h\sqrt{3}*h=h^2\sqrt{3}$

ОТВЕТ: S трапеции = $h^2\sqrt{3}$ см²

Answer 2

Для того чтобы найти площадь трапеции ABCD, нам потребуется использовать знание о свойствах вписанных углов и радиуса окружности.

1. Рассмотрим угол BOA. По условию задачи, он равен 60 градусам.

2. Так как BC || AD, то угол BCD также равен 60 градусам, так как это дополнительный угол к углу BOA.

3. Рассмотрим треугольник BCO. У нас есть два угла известных размеров: угол BCO (половина угла BOA) равен 30 градусам, и угол BOC (центральный угол над дугой BC) равен 120 градусам (так как угол BCD равен 60 градусам).

4. Так как у нас есть два угла треугольника BCO, мы можем найти третий угол, используя свойство суммы углов треугольника: угол CBO = 180 - 30 - 120 = 30 градусов.

5. Теперь мы видим, что треугольник BCO является равнобедренным треугольником, так как два угла при основании равны между собой.

6. Поскольку в треугольнике BCO два угла при основании равны, то это также означает, что отрезок BO равен отрезку OC.

7. Рассмотрим высоту трапеции h. Она перпендикулярна основаниям трапеции и проходит через точку O (центр окружности).

8. Таким образом, высота h является медианой треугольника BCO.

9. Мы знаем, что медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. Таким образом, высота h делит сторону BC пополам.

10. Обозначим точку пересечения высоты h с основанием BC как точку M. Тогда BM = MC.

11. Теперь мы видим, что получилось два равнобедренных треугольника: BCO и BDM (где D - середина AD).

12. Площадь треугольника BCO равна (1/2) * BM * OC.

13. Площадь треугольника BDM также равна (1/2) * BM * OC, так как треугольники BCO и BDM равнобедренные.

14. Общая площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников BCO и BDM: S_трапеции = (1/2) * BM * OC + (1/2) * BM * OC = BM * OC.

15. Мы знаем, что BM = MC и BO = OC (так как OB и OC - радиусы окружности). Таким образом, S_трапеции = BM * BO.

Так как высота h является медианой треугольника BCO, то BM = 1/2 * BC.

Следовательно, S_трапеции = (1/2) * (1/2 * BC) * BO = 1/4 * BC * BO.

16. Теперь мы видим, что BC - это разница диагоналей трапеции, так как AB и CD - это хорды окружности, и мы знаем, что перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через середину хорды.

Таким образом, BC = AO - CO.

17. Окружность делится углом BOA на две равные дуги, каждая из которых равна 180 - 60 = 120 градусам.

18. Дуга, соответствующая хорде AB, также делится на две равные части углом AOB. Так как хорда AB - это дуга, соответствующая углу BOA, то угол AOB равен половине угла BOA, то есть 30 градусам.

19. Теперь дуга, соответствующая хорде CD, делится на две равные части углом COD. Так как угол COA - это дополнительный угол к углу BOA, то угол COD также равен 30 градусам.

20. Таким образом, дуги AB и CD равны, и следовательно, AO = CO.

21. Так как у нас было, что BC = AO - CO, и теперь мы знаем, что AO = CO, то BC = 0.

22. Следовательно, S_трапеции = 1/4 * BC * BO = 0.

Итак, получается, что площадь трапеции равна нулю, что, вероятно, является некорректным результатом. Вероятно, где-то была допущена ошибка в расчетах или предположениях. Может быть, вы могли бы уточнить задачу или проверить шаги еще раз?