Question

Внутри прямоугольного треугольника АВС (C 90 °) взято точку O так, что треугольники ОАВ, ОВС и ОАС - равновеликие. Найти длину отрезка ОС, когда известно, mo OA² + OB² = d?

Answer 1

Ответ:

ОС=

$\ \sqrt{ \dfrac{d}{5} }$

Объяснение:

Проведём перпендикуляры ОМ⟂АС и ON⟂BC. Площадь прямоугольного треугольника АВС:

$S = \dfrac{1}{2} \times AC \times BC$

Так как точка О разбивает треугольник ABC на 3 равновеликих треугольника то площадь треугольника АОС будет равна:

$S(AOC) = \dfrac{1}{3} \times S(ABC) = \dfrac{1}{3 } \times \dfrac{1}{2} \times AC \times BC = \dfrac{1}{6} \times AC \times BC$

С другой стороны:

$S(AOC) = \dfrac{1}{2} \times AC \times OM$

Получаем:

$\dfrac{1}{6} \times AC \times BC = \dfrac{1}{2} \times OM \times AC \\ \\ BC = 3OM \\ \\ OM = \dfrac{1}{3} BC$

Аналогично получаем, что

$ON = \dfrac{1}{3} AC$

Так как ONMC - прямоугольник, то NC=OM, MC=ON.

$AM = AC - MC = AC - \dfrac{1}{3} AC = \dfrac{2}{3} AC$

Аналогично:

$BN = \dfrac{2}{3} \times BC$

Воспользовавшись теоремой Пифагора найдём гипотезы треугольников АОМ, BON, COM:

${OA}^{2} = {AM}^{2} + {OM}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} \\ \\ {OB}^{2} = {BN}^{2} + {ON}^{2} = \frac{4}{9} {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2} \\ \\ {OC}^{2} = {OM}^{2} + {MC}^{2} = \frac{1}{9 } {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2}$

Отсюда следует:

${OA}^{2} + {OB}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} + \dfrac{4}{9} {BC}^{2} + \dfrac{1}{9} {AC}^{2} = \\ \\ = \dfrac{5}{9} {AC}^{2} + \dfrac{5}{9} {BC}^{2} = 5( \dfrac{1}{9 } {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} ) = 5 {OC}^{2}$

Так как по условию задачи

${OA}^{2} + {OB}^{2} = d$

то

$5 {OC}^{2} = d \\ OC = \sqrt{ \dfrac{d}{5} }$

Answer 2

Пусть длина отрезка ОС равна х. Так как треугольники ОАВ и ОВС равновеликие, то отрезок ОВ имеет ту же длину, что и отрезок ОА, то есть |OB| = |OA|. Обозначим эту длину через а. Таким образом, длины отрезков |OA|, |OB| и |OC| равны а.

Из равновеликости треугольников ОАВ и ОАС следует, что угол ОАВ равен углу ОАС, и они оба равны половине прямого угла (45 градусов). Также из равновеликости треугольников ОАВ и ОВС следует, что угол ОВС также равен половине прямого угла.

Рассмотрим треугольник ОАС. Угол ОАС равен 45 градусам, угол ОСА равен 90 градусам (поскольку треугольник ОАС - прямоугольный), а угол СОА равен 180 - 45 - 90 = 45 градусов. Таким образом, треугольник ОАС является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Используем теорему Пифагора для треугольника ОАС: |OC|^2 = |OA|^2 + |AC|^2 а^2 + а^2 = х^2 2а^2 = х^2

Известно, что |OA|^2 + |OB|^2 = d. Подставим |OA| = а и |OB| = а в это равенство: а^2 + а^2 = d 2а^2 = d

Теперь мы имеем систему уравнений: 2а^2 = х^2 2а^2 = d

Решая эту систему, получаем: х^2 = d х = √d

Таким образом, длина отрезка ОС равна корню квадратному из d, то есть х = √d.