Question

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25,19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

E, F, G - точки касания на сторонах AC, AB, BC

Отрезки касательных из одной точки равны.

AE=AF, BF=BG, CG=CE

p =AE+BG+CG =AE+BC (полупериметр)

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра.

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

OE=OG =r =7

AE=√(AO^2 -OE^2) =24 (теорема Пифагора)

S(ABC) =pr =(24+BC)*7

Высота GH - расстояние между параллельными BC и AD - сумма расстояний от точки O до этих прямых.

GH =7+19 =26

S(ABCD) =BC*GH =BC*26

△ABC=△ABD (по трем сторонам) => S(ABC) =S(ABCD)/2

(24+BC)*7 = BC*26/2 => BC=28

S(ABCD) =28*26 =728

Answer 2

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом:

• Расстояние от точки O до точки A: $r = 25$
• Расстояние от точки O до прямой AD: $h_1 = 19$
• Расстояние от точки O до прямой AC: $h_2 = 7$

Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен $r$, и что высоты треугольника ABC, опущенные из вершин B и C, проходят через точку O. Поскольку точка O является центром вписанной окружности, она также лежит на биссектрисе угла BAC.

Пусть $AB = c$, $BC = a$, $CD = b$. Так как AC является диагональю параллелограмма, она делит его на два равных треугольника ABC и CDA. Таким образом, мы можем рассмотреть только один из этих треугольников (например, треугольник ABC) и потом удвоить его площадь, чтобы получить площадь всего параллелограмма.

Мы можем использовать формулу для площади треугольника через биссектрису и радиус вписанной окружности:

$S_{ABC} = r \cdot s,$

где $s$ - полупериметр треугольника ABC:

$s = \frac{a + b + c}{2}.$

Также, можно использовать формулу для площади треугольника через высоту к основанию:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot c.$

Приравнивая обе формулы для площади треугольника ABC, получаем:

$r \cdot s = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot c.$

Теперь мы можем выразить $c$ через известные величины:

$c = \frac{2 \cdot r \cdot s}{h_1}.$

Из параллелограмма ABCD мы также знаем, что $c = b$. Теперь мы можем выразить $b$ через известные величины:

$b = \frac{2 \cdot r \cdot s}{h_1}.$

Мы также знаем, что треугольник ABC подобен треугольнику AOC, так как у них есть общий угол и пара равных углов (из-за того что треугольник ABC равнобедренный, так как $AB = BC$). Поэтому, пропорция сторон треугольников ABC и AOC равна:

$\frac{c}{a} = \frac{h_1}{h_2}.$

Подставляя значения $c$ и $h_2$, получаем:

$\frac{\frac{2 \cdot r \cdot s}{h_1}}{a} = \frac{h_1}{h_2}.$

Решая это уравнение относительно $a$, получаем:

$a = \frac{h_2 \cdot h_1^2}{2 \cdot r \cdot s}.$

Теперь у нас есть значения для $a$, $b$ и $c$, и мы можем найти площадь одного из треугольников ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot r \cdot s}{h_1} \cdot h_2.$

Так как параллелограмм состоит из двух таких треугольников, общая площадь параллелограмма ABCD равна:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot r \cdot s}{h_1} \cdot h_2 = \frac{2 \cdot r \cdot s \cdot h_2}{h_1}.$

Теперь мы можем подставить известные значения $r$, $s$, $h_1$ и $h_2$ и вычислить площадь параллелограмма ABCD.