Question

Докажите, что отношение соответствующих медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия.​

Answer 1

Пусть в подобных треугольниках ABC и A'B'C' проведены медианы AM и A'M'. Пусть AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'=k, докажем, что AM/A'M'=k. Заметим, что BM/B'M = (1/2BC) / (1/2B'C') = k. Рассмотрим треугольники ABM и A'B'M', они подобны по углу B=B' и отношению сходственных сторон AB/A'B'=BM/B'M'=k. Стороны AM и A'M' являются сходственными в этих треугольниках, тогда AM/A'M'=AB/A'B'=k, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим два подобных треугольника: треугольник ABC и треугольник DEF. Пусть AB/DE = AC/DF = BC/EF = k, где k - коэффициент подобия.

Теперь рассмотрим медианы треугольников ABC и DEF:

1. Медианы треугольника ABC: Медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A, пересекает сторону BC в точке G. Пусть AG - медиана треугольника ABC.

2. Медианы треугольника DEF: Медиана треугольника DEF, проведенная из вершины D, пересекает сторону EF в точке H. Пусть DH - медиана треугольника DEF.

Теперь давайте рассмотрим отношение длин медиан в этих треугольниках:

Отношение длин медиан: AG/DH

Мы знаем, что медиана в треугольнике делит сторону пополам. Таким образом, AG = 0.5 * BC, и DH = 0.5 * EF.

Подставим это в отношение медиан:

AG/DH = (0.5 * BC) / (0.5 * EF) = BC/EF = k

Мы также знаем, что BC/EF = k (по определению подобия).

Итак, мы видим, что отношение длин медиан в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия (AG/DH = BC/EF = k).

Таким образом, данное утверждение доказано.