Question

Бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини основи під кутом 60∘. Площа основи піраміди дорівнює 16 кв. см. Знайти об'єм даної піраміди та її апофему.

Answer 1

Ответ указан в Файле

Answer 2

Щоб знайти об'єм правильної чотирикутної піраміди, яка має бічні грані нахилені під кутом 60° до площини основи, та площу основи 16 кв. см, спочатку нам знадобиться знайти довжину бічної сторони піраміди (ребро) та висоту піраміди.

Позначимо ребро піраміди як "a" і висоту піраміди (від вершини до площини основи) як "h".

1. Знайдемо довжину бічної сторони (ребро) піраміди "a":

Розглянемо правильний трикутник, утворений бічною стороною піраміди і двома відповідними сторонами основи піраміди. Оскільки бічні грані нахилені під кутом 60° до площини основи, отримуємо рівносторонній трикутник зі стороною "a" та кутом 60°.

Застосуємо теорему косинусів для рівностороннього трикутника:

a^2 = c^2 + c^2 - 2cc*cos(60°)

де "c" - сторона основи піраміди.

Так як площа основи піраміди дорівнює 16 кв. см, а це правильний чотирикутник, можемо припустити, що сторона основи "c" є стороною квадрата, який має площу 16 кв. см.

Тому, c = √16 = 4 см.

Тепер, підставимо це значення "c" в рівняння для "a":

a^2 = 4^2 + 4^2 - 244cos(60°) a^2 = 16 + 16 - 160.5 a^2 = 16

a = √16 = 4 см.

2. Знайдемо висоту піраміди "h":

Розглянемо правильний трикутник, утворений висотою піраміди, однією бічною стороною (половина ребра) і протилежною стороною основи. Оскільки це прямокутний трикутник, а гіпотенуза має довжину "a" (знайдена в попередньому кроці), а кут між "a" і "h" дорівнює 60°, то можемо застосувати тригонометрію:

sin(60°) = h / a h = a * sin(60°) h = 4 * √3 / 2 h = 2√3 см.

3. Знайдемо об'єм піраміди:

Об'єм піраміди можна знайти за формулою:

V = (1/3) * S_base * h,

де S_base - площа основи, а h - висота піраміди.

V = (1/3) * 16 * 2√3 V = 32/3 * √3 куб. см.

4. Знайдемо апофему піраміди:

Апофема піраміди (r) - це радіус кола, вписаного в основу піраміди. Для правильної чотирикутної піраміди, апофему можна знайти за формулою:

r = a * √(3) / 2,

де "a" - довжина бічної сторони піраміди.

r = 4 * √(3) / 2 r = 2√3 см.

Отже, об'єм піраміди дорівнює 32/3 * √3 куб. см, а апофема піраміди дорівнює 2√3 см.