Question

СРОЧНО!!! ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!! Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М.Найдите C, если АMB = 109°.​

Answer 1

AM - биссектриса  ⇒   ∠BAC = 2∠BAM

BM - биссектриса  ⇒   ∠ABC = 2∠ABM

ΔABM:  ∠AMB = 109°  ⇒

∠BAM + ∠ABM = 180° - ∠AMB = 180° - 109° = 71°  ⇒

2(∠BAM + ∠ABM) = 2*71°

2∠BAM + 2∠ABM = 142°

∠BAC + ∠ABC = 142°

ΔABC:  ∠C = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 142 = 38

Answer 2

Хорошо, чтобы найти угол C, нам понадобится знать одну из следующих величин:

1. Значение угла AMB (уже дано) = 109°.
2. Значение угла CMB (также 109°, так как биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М, и углы AMB и CMB дополняют друг друга до 180°).
3. Значение угла CMA (равно половине угла CMB, так как точка М лежит на биссектрисе угла А).
4. Значение угла BMA (равно половине угла AMB, так как точка М лежит на биссектрисе угла В).

Поскольку углы треугольника ABC суммируются до 180°, мы можем записать уравнение:

АMB + CMB + CMA + BMA + AMC + BMC = 180°.

Подставим известные значения:

109° + 109° + CMA + BMA + AMC + BMC = 180°.

Известно также, что сумма углов внутри треугольника равна 180°:

AMC + BMC + C = 180°.

Подставим это значение:

109° + 109° + CMA + BMA + AMC + BMC = AMC + BMC + C.

Теперь упростим уравнение:

218° + CMA + BMA = C.

Так как точка М является точкой пересечения биссектрис углов А и В, углы CMA и BMA равны:

CMA = BMA = 109° / 2 = 54.5°.

Подставим эти значения обратно в уравнение:

218° + 54.5° + 54.5° = C.

C = 327°.

Таким образом, значение угла C равно 327°.