Question

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Точки P на отрезке AM и Q на стороне AC выбраны так, что AP/PM=1/2, AQ/QC=1/4. Докажите, что точки B, P, Q лежат на одной прямой

Answer 1

Ответ:

Объяснение:В треугольнике ABC проведена медиана AM. Точки P на отрезке AM

Answer 2

Для доказательства этого факта, мы можем воспользоваться теоремой Менелая для треугольника ABC и линии, проходящей через точки P и Q.

Теорема Менелая гласит: В треугольнике ABC для любой линии, пересекающей стороны AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно, выполняется следующее условие:

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1.$

В данном случае мы можем взять сторону AC как "основную" сторону треугольника и линию, проходящую через точки P и Q, как линию, пересекающую эту сторону.

Пусть точка D - точка пересечения BP и AC.

Так как AP/PM = 1/2, мы можем представить точку D как точку деления отрезка AC в отношении 2:1, то есть AD/DC = 2.

Аналогично, пусть точка E - точка пересечения BQ и AC.

Так как AQ/QC = 1/4, мы можем представить точку E как точку деления отрезка AC в отношении 1:4, то есть AE/EC = 1/4.

Теперь, применяя теорему Менелая к треугольнику ABC и линии, проходящей через точки P и Q, получаем:

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1.$

Подставляя значения AD/DC = 2 и AE/EC = 1/4, получаем:

$\frac{BD}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{CF}{FB} = 1.$

Умножая обе стороны на 4 и упрощая, получаем:

$\frac{BD \cdot CF}{FB} = 2.$

Так как BD + DC = AC и CF + FB = AB, мы можем записать:

$BD = AC - DC$ $CF = AB - FB$

Подставляя эти выражения в предыдущее уравнение:

$\frac{(AC - DC) \cdot (AB - FB)}{FB} = 2.$

Раскрыв скобки и переставив члены местами, получаем:

$AC \cdot AB - AC \cdot FB - DC \cdot AB + DC \cdot FB = 2 \cdot FB.$

Выразим AC и FB через другие стороны треугольника:

$AC \cdot AB = AB^2 = AB^2 - BC^2 + BC^2 = AF \cdot FB + BC \cdot FB = FB \cdot (AF + BC).$

Подставив это в уравнение:

$FB \cdot (AF + BC) - AC \cdot FB - DC \cdot AB + DC \cdot FB = 2 \cdot FB.$

Упрощаем:

$FB \cdot AF + FB \cdot BC - AC \cdot FB - DC \cdot AB + DC \cdot FB = 2 \cdot FB.$

$FB \cdot AF + FB \cdot BC - AC \cdot FB + DC \cdot FB = 2 \cdot FB + DC \cdot AB.$

$FB \cdot (AF + BC - AC + DC) = 2 \cdot FB + DC \cdot AB.$

$FB \cdot (AF + BC + DC - AC) = 2 \cdot FB + DC \cdot AB.$

Так как AF + BC + DC = AC, получаем:

$FB \cdot AC = 2 \cdot FB + DC \cdot AB.$

$AC = 2 + \frac{DC \cdot AB}{FB}.$

Так как DC/AB = BD/FC (по подобным треугольникам), можем записать:

$AC = 2 + \frac{BD}{FC}.$

Но согласно определению точки D, BD = 2 \cdot DA.

Подставляем это:

$AC = 2 + \frac{2 \cdot DA}{FC}.$

$AC = 2 \cdot \left(1 + \frac{DA}{FC}\right).$