Question

ДАЮ 50 + 25 БАЛЛОВ На окружности отмечены точки А, Б, Ц, Д так, что дуга аб = дуга бц = дуга цд докажите, что ац в квадрате = аб * ( бц + ад )

Answer 1

Объяснение:

cos (90⁰+α) = - sin α

cos 90⁰ · cos α - sin 90⁰ · sin α = - sin α

0 · cos α - 1 · sin α = - sin α

- sin α = - sin α

тождество доказано

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно и поэтапно докажем данное утверждение.

У нас есть окружность, на которой отмечены точки A, B, C и D так, что дуга AB равна дуге BC, а также дуга BC равна дуге CD.

Пусть $x$ - длина дуги AB (равная длине дуги BC и CD), $r$ - радиус окружности.

Тогда длина дуги AC (и длина дуги AD) также будет равна $x$, так как дуги AB и CD равны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. У нас есть две равные дуги AB и BC, которые соответствуют углам A и C на окружности. По свойству центрального угла, угол A равен углу C. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника ABC мы можем сказать, что угол BAC (угол между радиусом и хордой AB) равен половине центрального угла A или C. То же самое можно сказать и об угле BCA.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABC:

$\frac{AC}{\sin(BAC)} = \frac{BC}{\sin(ABC)}$

Так как углы BAC и ABC равны, $\sin(BAC) = \sin(ABC)$, и мы получаем:

$AC = BC$

Таким образом, мы доказали, что дуги AB, BC, CD, AC и AD имеют одинаковую длину $x$, и отсюда следует, что:

$AC + AD = 2x$

Теперь вернемся к тому, что нам нужно доказать:

$AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$

Мы знаем, что $AC + AD = 2x$, поэтому мы можем подставить это значение:

$AC^2 = AB \cdot (BC + AD) = AB \cdot 2x$

Используя факт, что $AC = x$, мы получаем:

$x^2 = AB \cdot 2x$

$x = AB \cdot 2$

Так как $x$ - это длина дуги AB (и BC и CD), мы можем записать это как:

$x = \frac{AB}{r} \cdot 2$

где $r$ - радиус окружности.

Теперь давайте вернемся к теореме синусов для треугольника ABC:

$\frac{AC}{\sin(BAC)} = \frac{BC}{\sin(ABC)}$

У нас есть два угла, BAC и ABC, которые равны, так как треугольник ABC равнобедренный. Это означает, что $\sin(BAC) = \sin(ABC)$, и теорему синусов можно записать как:

$\frac{AC}{\sin(BAC)} = \frac{BC}{\sin(BAC)}$

Отсюда мы получаем:

$AC = BC$

Используя это, мы можем записать $x$ в терминах $r$ и $AB$:

$x = AC = BC = \frac{AB}{r} \cdot 2$

Теперь мы можем подставить это значение $x$ в исходное утверждение:

$AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$

$x^2 = AB \cdot (x + AD)$

Теперь подставим $x = \frac{AB}{r} \cdot 2$:

$\left(\frac{AB}{r} \cdot 2\right)^2 = AB \cdot \left(\frac{AB}{r} \cdot 2 + AD\right)$

Упростим:

$\frac{4AB^2}{r^2} = 2AB \cdot \left(\frac{AB}{r} \cdot 2 + AD\right)$

Делим обе стороны на 2AB:

$\frac{2AB}{r^2} = \frac{AB}{r} \cdot 2 + AD$

Теперь у нас есть:

$\frac{AB}{r} \cdot 2 = \frac{AB}{r} \cdot 2 + AD$

Вычитаем $\frac{AB}{r} \cdot 2$ с обеих сторон:

$0 = AD$