Question

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Answer 1

Пусть E — точка пересечения биссектрис, то точка M лежит между точками B и N возможны два случая.1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, следовательно,  откуда, учитывая, что , получаем 16

2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда  откуда учитывая, что  получаем  48

Ответ: 16 или 48

Answer 2

Пусть точка P - точка пересечения биссектрис угла BCD и AD. Так как биссектрисы углов параллелограмма делят противоположные стороны пополам, то MP и NP делят сторону BC пополам:

BP = PC.

Также известно, что BM : MN = 1 : 2. Так как точка P лежит на биссектрисе угла BCD, то BP : PC = BD : CD.

Из условия задачи известно, что AB = 12, значит, AC = BD = 12.

Поэтому:

BP : PC = BD : CD, 1 : 1 = 12 : CD, CD = 12.

Теперь, зная, что BD = CD = 12, и BP : PC = 1 : 1, мы можем рассмотреть треугольник BPC. В этом треугольнике, применив теорему Пифагора, мы можем выразить длину BC:

BC^2 = BP^2 + PC^2, BC^2 = 12^2 + 12^2, BC^2 = 2 * 12^2, BC^2 = 288.

Теперь возьмем квадратный корень:

BC = √288 = 12√2.

Таким образом, длина стороны BC равна 12√2.