Question

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M - середина диагонали BC1. Найдите угол между прямыми линиями AM и DC1. 2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями A1BD и плоскостью основания ABC

Answer 1

Ответ:

1) arcsin(sqrt(3)/3)  примерно 35,2 градуса

2) arcsin(sqrt(3)/3)   примерно 35,2 градуса

Объяснение:

1. Пусть сторона куба1.

АD=1    DC=sqrt(2)  Треугольник  AC1D прямоугольный (АD перпендикуляр  к плоскости DСС1).  АС1=sqrt(1+2)=sqrt(3)

sin AC1D=sqrt(1/3)=sqrt(3)/3   угол AC1D-искомый

2. Пусть  М - середина ВD.  Угол А1МА - искомый.

Треугольник АМА! прямоугольный. Если сторона куба 1, то АА1=1, АМ=sqrt(2)/2  А1М=sqrt(3).  sin(A1MA)=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3 -угол такой же как и в предыдушей задаче

Answer 2

1. Перейдем к трехмерным координатам, чтобы рассмотреть ситуацию более наглядно. Пусть сторона куба равна a, тогда координаты вершин куба и точки M следующие:

A(0, 0, 0) B(a, 0, 0) C(a, a, 0) D(0, a, 0) A1(0, 0, a) B1(a, 0, a) C1(a, a, a) D1(0, a, a) M(a, a/2, a/2)

Теперь мы можем найти векторы AM и DC1:

Вектор AM = M - A = (a, a/2, a/2) Вектор DC1 = C1 - D = (a, a, a)

Для нахождения угла между векторами воспользуемся скалярным произведением:

AM ⋅ DC1 = |AM| * |DC1| * cos(θ)

где |AM| - длина вектора AM, |DC1| - длина вектора DC1, а θ - искомый угол.

Длина вектора AM: |AM| = √(a^2 + (a/2)^2 + (a/2)^2) = √(a^2 + a^2/4 + a^2/4) = √(2a^2) = a√2

Длина вектора DC1: |DC1| = √(a^2 + a^2 + a^2) = √(3a^2) = a√3

Теперь можем найти cos(θ): cos(θ) = (AM ⋅ DC1) / (|AM| * |DC1|) = ((a, a/2, a/2) ⋅ (a, a, a)) / (a√2 * a√3) = (a^2 + a^2/2 + a^2/2) / (a√2 * a√3) = (2a^2) / (a√2 * a√3) = 2 / (√2 * √3) = 2√6 / 6

Таким образом, cos(θ) = 2√6 / 6. Чтобы найти сам угол θ, возьмем обратный косинус: θ = cos^(-1)(2√6 / 6)

2. Для нахождения угла между плоскостями A1BD и плоскостью основания ABC, можно воспользоваться свойством косинуса угла между двумя плоскостями. Угол между плоскостями определяется как угол между их нормалями.

Нормаль плоскости A1BD можно найти как векторное произведение векторов A1B и A1D, так как они лежат в плоскости A1BD.

Нормаль плоскости ABC можно найти аналогичным образом, используя векторное произведение векторов AB и AC.

После нахождения нормалей обеих плоскостей, можно найти угол между ними, используя формулу косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (n1 ⋅ n2) / (|n1| * |n2|),

где n1 и n2 - нормали плоскостей A1BD и ABC соответственно, |n1| и |n2| - их длины.

Таким образом, вы можете рассчитать угол между плоскостью A1BD и плоскостью основания ABC, используя вышеуказанный метод.