Question

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны​

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении и приложении.

Объяснение:

ΔABD и ΔАСD равновелики, то есть площади этих треугольников равны (Sabd = Sacd),так как эти треугольники с общим основанием (AD) и одинаковой высотой (высота трапеции). С другой стороны, площади этих треугольников равны разности:

Sabo = Sabd -Saod

Scod = Sacd - Saod.

Но  Sabd = Sacd  =>  

Sabo  = Scod, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства площадей треугольников AOB и COD в данной трапеции ABCD, мы можем воспользоваться свойством, что диагонали трапеции делятся точкой пересечения пополам. То есть, точка O делит диагонали AD и BC пополам.

Пусть точка пересечения диагоналей AD и BC равноудалена от их начал. Тогда точка O будет серединой обеих диагоналей:

AO = OD (половина диагонали AD) BO = OC (половина диагонали BC)

Также у нас есть свойство трапеции, что сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований:

AB + CD = AD + BC

Из свойства точки пересечения диагоналей мы знаем, что AO + OD = AB, а BO + OC = CD.

Следовательно, AB + CD = AO + OD + BO + OC.

Подставляя AO = OD и BO = OC, получаем:

AB + CD = AO + BO + OD + OC

Так как AO + BO = AB и OD + OC = CD, мы имеем:

AB + CD = AB + CD

Это означает, что левая и правая части равенства равны друг другу. Следовательно, площади треугольников AOB и COD равны, так как их высоты (OD и OC) и соответствующие им основания (AO и BO) равны, а площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины основания на высоту.

Таким образом, площади треугольников AOB и COD действительно равны в данной трапеции.