Question

M и N — серединные точки диагоналей AC и BD трапеции ABCD. Определи длину отрезка MN, если длины оснований трапеции AD= 49 см и BC= 9 см. Ответ: MN= см.

Answer 1

Ответ:Продлим отрезок MN до пересечения с боковыми сторонами трапеции.

Обозначим точки пересечения соответственно K и L.

1) KM=BC/2=5 cм - средняя линия тр-ка АВС.

2) KN=AD/2=20 см - средняя линия тр-ка ABD.

3) MN=KN-KM= 15 cм

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства серединных перпендикуляров в трапеции.

1. Сначала найдем длину диагонали AC. Диагональ AC разбивает трапецию на два треугольника: ABC и ADC. Поскольку M и N - серединные точки диагоналей, то AM = MC и BN = ND.

2. Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что его основания BC и AD равны 9 см и 49 см соответственно. Поскольку M - серединная точка диагонали AC, то AM = MC, и треугольник AMC - это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC.

3. Применим теорему Пифагора к треугольнику AMC: AC^2 = AM^2 + MC^2

4. Теперь рассмотрим треугольник ADC. По аналогии с предыдущим случаем, ND = BN, и треугольник AND - это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC.

5. Применим теорему Пифагора к треугольнику AND: AC^2 = AN^2 + ND^2

6. Так как оба выражения равны AC^2, мы можем приравнять их: AM^2 + MC^2 = AN^2 + ND^2

7. Подставим известные значения: (BC/2)^2 + (AD/2)^2 = (BC/2)^2 + (AD/2)^2

8. Сократим одинаковые слагаемые с обеих сторон: 0 = 0

Это верное уравнение, что подтверждает, что AM = MC и AN = ND. Это означает, что точки M и N действительно являются серединными точками диагоналей, и гипотенузы треугольников AMC и AND совпадают.

Следовательно, отрезок MN является гипотенузой обоих прямоугольных треугольников AMC и AND, и его длина равна длине диагонали AC:

MN = AC

9. Нам осталось найти длину диагонали AC. По теореме Пифагора для треугольника ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2

10. Подставим известные значения и решим уравнение: AC^2 = (AD + BC)^2 + BC^2 AC^2 = (49 + 9)^2 + 9^2 AC^2 = 58^2 + 9^2 AC^2 = 3364 + 81 AC^2 = 3445

11. Извлекаем квадратный корень для нахождения длины диагонали AC: AC = √3445 ≈ 58.62 см

12. Таким образом, длина отрезка MN (длина диагонали AC) составляет около 58.62 см.