Question

Много баллов, стереометрия ❤️ В кубе ABCDA1B1C1D1, ребра которого равны 4, на ребре BB1 взята точка T так, что BT:TB1=1:3. Найти синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС)​

Answer 1

В кубе ABCDA1B1C1D1, ребра которого равны 4, на ребре BB1 взята точка T так, что BT:TB1=1:3. Найти синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС)​

Объяснение:

Т.к. BT:TB₁=1:3  и  ВВ₁=4 ,то ВТ=4:4*1=1 (см).

Из ΔАВС-прямоугольного , по т. Пифагора найдем

АС=√(4²+4²)=4√2 (см). Значит ВD=4√2 см⇒ВО=2√2 см.

В кубе все грани квадраты⇒АС⊥ВD и ТВ⊥ВD ⇒ по т. о трех перпендикулярах ∠ТОВ-линейный угол  между плоскостями (АВС) и (АТС)​.

ΔВТО-прямоугольный  , по т. Пифагора ТО²=ВТ²+ТО². ТО=3 см.

sin∠ТВО=ТВ/ТО,  sin∠ТВО=1*3.

Синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС)​ равен 1/3.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о геометрии и свойствах куба, а также некоторые понятия из тригонометрии.

Обозначим вершины куба следующим образом:

• Вершины основания ABCD обозначим, как указано.
• Вершины верхней грани A1B1C1D1 обозначим так же, но с индексом "1".

Известно, что ребра куба равны 4. Также известно, что BT:TB1 = 1:3. Это означает, что отношение длины отрезка BT к длине отрезка TB1 равно 1:3.

Пусть точка O - это центр куба, а точка M - это середина ребра BB1. Тогда BM = (1/2) * BB1 = (1/2) * 4 = 2.

Треугольник BMO является прямоугольным, так как один из углов куба (например, угол BBT1) является прямым. Мы знаем, что BM = 2, а BT1 = 3, так как BT:TB1 = 1:3. Тогда, применяя теорему Пифагора, получаем:

BO^2 = BM^2 + MO^2 BO^2 = 2^2 + MO^2 BO = √(4 + MO^2)

BO также является диагональю куба, и ее длина равна sqrt(3) * a, где a - длина ребра куба. В данном случае a = 4, так что BO = 4 * √3.

Теперь мы можем найти MO, используя уравнение: 4 * √3 = √(4 + MO^2) 48 = 4 + MO^2 MO^2 = 44 MO = 2 * √11

Теперь мы можем использовать определение синуса угла между двумя плоскостями. Синус угла между плоскостями можно найти как отношение высоты параллелограмма к его диагонали. Высота параллелограмма - это расстояние между плоскостями, то есть MO, а диагональ параллелограмма - это длина отрезка BO.

Таким образом, синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС) равен: sin(θ) = MO / BO sin(θ) = (2 * √11) / (4 * √3) sin(θ) = (√11) / (2 * √3) sin(θ) = √33 / 18

Таким образом, синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС) равен √33 / 18.