Question

100 БАЛЛОВ 1.В основании пирамиды лежит ромб с диагоналями 10 и 18. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей . Большее боковое ребро равно 15. Найдите меньшее боковое ребро. 2.Высота правильной треугольной пирамиды равна 6. Двугранный угол при стороне основания равен 60 градусам. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Answer 1

Ответ:

1. 13 см.  2. Sполн =  108√3см².

Объяснение:

1. Диагонали ромба делятся пополам. Тогда в прямоугольном треугольнике SOC по Пифагору найдем высоту пирамиды SO.  SO = √(SC²-OC²) = √(15²-9²) = 12 см.

В прямоугольном треугольнике SOD по Пифагору найдем гипотенузу SD (меньшую боковую грань пирамиды).  

SD = √(SO²+OD²) = √(12²+5²) = 13 см.

2. Пирамида правильная => в основании лежит правильный треугольник, а вершина проецируется в центр треугольника (пересечение высот и медиан - в правильном треугольнике это одно и то же). Двугранный угол при стороне основания - это угол между апофемой (высотой грани) и плоскостью основания, то есть это угол SHO. Тогда в прямоугольном треугольнике SHO угол OSH равен 30 градусов (по сумме острых углов треугольника) и гипотенуза SH = 2·OH (по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов). По Пифагору 4·ОН² - ОН² = SO². Или 3·ОН² = 36.  =>

ОН = 2√3 см. => SH = 4√3 см. ОН - это 1/3 высоты основания. Высота основания ВН = 3·2√3 = 6√3 см. Сторону основания найдем из формулы высоты основания:

h = (√3/2)·h  =>  a = 2h/√3 = 12 см.

Тогда площадь основания пирамиды равна по формуле:  

So = (√3/4)·а² = 36√3 cм². Площадь боковой грани (площадь треугольника) равна

Sг = (1/2)·SH·АC = (1/2)·4√3·12 = 24√3 см². Таких граней три. =>

Sбок = 3·24√3 = 72√3 см². Площадь полной поверхности пирамиды равна

S = So+Sбок = 36√3+72√3 = 108√3см².

Answer 2

1. Чтобы найти меньшее боковое ребро пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного диагоналями ромба и боковым ребром пирамиды.

Давайте обозначим меньшее боковое ребро как x. Тогда мы имеем следующие отношения:

(x/2)^2 + h^2 = 15^2 (1) (где h - высота пирамиды)

(10/2)^2 + h^2 = x^2 (2)

(18/2)^2 + h^2 = x^2 (3)

Мы знаем, что h - высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Мы также знаем, что боковые ребра пирамиды могут быть различными, поэтому мы предполагаем, что меньшее боковое ребро составляет x.

Решим систему уравнений (1), (2) и (3), чтобы найти значение x:

(x/2)^2 + 6^2 = 15^2 x^2 + 36 = 225 x^2 = 225 - 36 x^2 = 189 x = √189 x ≈ 13.74

Таким образом, меньшее боковое ребро пирамиды примерно равно 13.74.

2. Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, мы можем разделить её на несколько фигур и вычислить площади каждой.

Пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, поэтому площадь его поверхности будет равна (основание * высота) / 2.

Площадь поверхности боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей равносторонних треугольников, образующих боковые грани пирамиды.

Площадь поверхности основания треугольной пирамиды равна (сторона * высота) / 2.

Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды будет равна сумме площадей основания и боковой поверхности.

Для данного случая, площадь поверхности пирамиды будет:

Площадь основания = (сторона * высота) / 2 = (6 * 6) / 2 = 18

Площадь боковой поверхности = (сторона * периметр треугольника) / 2 = (6 * 3 * сторона) / 2 = 9 * сторона

Общая площадь поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 18 + 9 * сторона

В данном случае у нас нет указания на длину стороны основания треугольной пирамиды. Если вы можете предоставить эту информацию, я смогу рассчитать площадь поверхности пирамиды.