Question

В прямоугольном треугольнике ABC катет АВ на 2 больше катета АС. Найди меньший катет, если медиана, опущенная на гипотенузу, равна 5.​

Answer 1

Ответ: 6

Объясняние:

По теореме «Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы», нам известно, что медиана = 5, значит гипотенуза ВС = 10.

По теореме Пифагора:

Пусть АС = х (меньший катет)

АВ = 2+х по условию

(2+х) ^2+х^2=10^2

(если нужно, в Photo Math решу уравнение)

X =6

Это и будет меньший катет

Answer 2

Обозначим меньший катет как $x$. Тогда больший катет будет $x + 2$, так как согласно условию, катет АВ на 2 больше катета АС.

По определению медианы, она делит сторону, на которую опущена, пополам. Так как медиана опущена на гипотенузу, она делит гипотенузу пополам.

Известно, что медиана $m$ к гипотенузе $c$ в прямоугольном треугольнике связана со сторонами следующим образом:

$m^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{c^2}{4}$

Где $a$ и $b$ - катеты треугольника, $c$ - гипотенуза.

В нашем случае $a = x$, $b = x + 2$, $m = 5$, $c$ - гипотенуза, которую мы должны найти.

Подставляя значения:

$5^2 = \frac{x^2 + (x + 2)^2}{2} - \frac{c^2}{4}$

Упростим выражение в числителе:

$25 = \frac{x^2 + (x^2 + 4x + 4)}{2} - \frac{c^2}{4}$ $25 = \frac{2x^2 + 4x + 4}{2} - \frac{c^2}{4}$ $25 = x^2 + 2x + 2 - \frac{c^2}{4}$

Теперь выразим $c^2$:

$c^2 = 4(x^2 + 2x + 2 - 25)$ $c^2 = 4x^2 + 8x + 8 - 100$ $c^2 = 4x^2 + 8x - 92$

Мы знаем, что $c^2 = a^2 + b^2$, так как это теорема Пифагора. В нашем случае $a = x$, $b = x + 2$:

$c^2 = x^2 + (x + 2)^2$ $c^2 = x^2 + x^2 + 4x + 4$ $c^2 = 2x^2 + 4x + 4$

Теперь мы можем сравнить это выражение с предыдущим:

$4x^2 + 8x - 92 = 2x^2 + 4x + 4$

Выразим $x$:

$2x^2 + 4x - 96 = 0$ $x^2 + 2x - 48 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение:

$x^2 + 8x - 6x - 48 = 0$ $x(x + 8) - 6(x + 8) = 0$ $(x - 6)(x + 8) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x = 6$ и $x = -8$.

Так как длины сторон не могут быть отрицательными, мы выбираем $x = 6$ как меньший катет. Таким образом, меньший катет равен 6.