Question

1. Все стороны квадрата касаются сферы. Диагональ квадрата равна 10√2. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости квадрата равно 12. 2. Конус с углом β при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R. Найдите угол β, если R=2r. Если возможно несколько вариантов ответа, укажите наибольший из них 3. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в два раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объем второй кружки больше объема первой? 4. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 6, а радиус окружности, описанной около основания, равен 3. 5. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 6, а двугранный угол при основании равен 45о.

Answer 1

Ответ:

1 - 13

3 - 4,5

4 - 40,5

2 и 5 сама ищу(

Объяснение:

Answer 2

Давайте по очереди рассмотрим каждый из ваших вопросов:

1. Пусть $O$ - центр сферы, $A$ и $B$ - точки касания сторон квадрата с сферой, $C$ - центр квадрата, $D$ - точка пересечения диагоналей квадрата. Также пусть $R$ - радиус сферы, $CD = 10\sqrt{2}$ - диагональ квадрата, $CE = 12$ - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата.

Так как $AC$ и $CE$ являются радиусами сферы, они равны $R$. Также, так как $AB$ - касательная, то $AC \perp AB$, и следовательно, $\angle CEA = 90^\circ$.

Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $CEA$, где $CE = 12$ и $\angle CEA = 90^\circ$. Мы знаем, что $EA = \frac{CD}{2} = 5\sqrt{2}$, и теперь мы можем использовать теорему Пифагора:

$$EA^2 + CA^2 = CE^2 \\ (5\sqrt{2})^2 + R^2 = 12^2 \\ 50 + R^2 = 144 \\ R^2 = 94$$

Таким образом, радиус сферы $R = \sqrt{94}$.

2. Для этого вопроса нам нужно рассмотреть сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и ось конуса. Пусть $A$ - вершина конуса, $O$ - центр сферы, $B$ - середина основания конуса. Также пусть $r$ - радиус основания конуса, $R$ - радиус сферы, $OB = r$, $OA = R$, $AB = h$ - высота конуса.

У нас дано, что $R = 2r$, и мы хотим найти угол $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$, где $OA = R$, $OB = r$, и $\angle AOB = \beta$. Мы знаем, что $AB = h$, так как это высота конуса. Мы также знаем, что $OA^2 + OB^2 = AB^2$ по теореме Пифагора для треугольника $OAB$:

$$R^2 + r^2 = h^2 \\ (2r)^2 + r^2 = h^2 \\ 4r^2 + r^2 = h^2 \\ 5r^2 = h^2$$

Теперь, мы можем выразить угол $\beta$, используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике $OAB$:

$$\tan(\beta) = \frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$$

Из таблиц тригонометрических значений мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$, а так как $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$, то значит $30^\circ < \beta$.

Таким образом, наибольшее значение для угла $\beta$ - $30^\circ$.

3. Пусть $h_1$