Question

СРОЧНО РЕШИТЕ ДАЮ 39 БАЛЛОВ!!!!! В четырехугольник ABCD вписана окружность. Найдите AВ, если BC= 3 см, CD=5 см, AD = 15 см.

Answer 1

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD.

AB+5=3+15

AB+5=18

AB=13

Ответ: АВ=13см

Answer 2

Давайте воспользуемся свойствами вписанных четырехугольников и окружностей для решения этой задачи.

Поскольку четырехугольник ABCD вписанный, то у него сумма противоположных углов равна 180 градусов. Таким образом, угол BCD + угол BAD = 180°.

Также, вписанный угол (угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны проходят через точки касания окружности и сторон четырехугольника) равен половине центрального угла, который охватывает этот угол.

Из этой информации мы можем составить уравнение: ∠BCD + ∠BAD = 180°

Давайте теперь посмотрим на треугольник BCD. У него есть стороны BC, CD и BD (половина диагонали четырехугольника). Используя теорему косинусов для треугольника BCD:

BC^2 + CD^2 - 2 * BC * CD * cos(∠BCD) = BD^2

Подставив известные значения и решив уравнение относительно BD:

3^2 + 5^2 - 2 * 3 * 5 * cos(∠BCD) = BD^2 9 + 25 - 30 * cos(∠BCD) = BD^2 34 - 30 * cos(∠BCD) = BD^2

BD^2 = 34 - 30 * cos(∠BCD)

Теперь мы можем использовать свойства вписанных углов. Так как угол BCD - половина центрального угла ∠BAD, то:

cos(∠BCD) = cos(0.5 * ∠BAD)

Подставив это обратно в уравнение для BD^2:

BD^2 = 34 - 30 * cos(0.5 * ∠BAD)

Теперь, давайте рассмотрим треугольник BAD. Мы можем применить теорему косинусов для него:

AD^2 + BD^2 - 2 * AD * BD * cos(∠BAD) = AB^2

Подставив известные значения и выразив AB:

15^2 + BD^2 - 2 * 15 * BD * cos(∠BAD) = AB^2

Мы знаем, что BD^2 = 34 - 30 * cos(0.5 * ∠BAD), поэтому:

15^2 + (34 - 30 * cos(0.5 * ∠BAD)) - 2 * 15 * BD * cos(∠BAD) = AB^2

Решив это уравнение относительно AB, вы найдете длину отрезка AB.