Question

Дан параллелограмм ABCD с длинами сторон 12 и 8. Биссектрисы его углов при пересечении образуют четырёхугольник. Чему равны длины диагоналей этого четырёхугольника? Введите длины обеих диагоналей в произвольном порядке.

Answer 1

Ответ:

По свойству параллельных прямых и секущей сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°. Следовательно, биссектрисы его соседних углов пересекаются под прямым углом. Поэтому четырехугольник, образованный четырьмя биссектрисами параллелограмма - прямоугольник.    Обозначим его вершины К, L, M и N.

Биссектрисы параллелограмма, являясь секущими,  отсекают от него равнобедренные треугольники  ( они делят углы пополам, и накрестлежащие углы тоже равны). Противоположные стороны параллелограмма равны =>

АВ=BQ=AT=CD=CR=DS=8   Тогда ВR=12-CR=4.  Аналогично  длина отрезков  QC,, DT,, AS равна 4.

Отрезки   QR и TS равны 12-2•4=4.  

По 1-му признаку равенства треугольников ∆ АВТ=∆ RCD и  ∆ ABQ=∆ СDS ⇒ их стороны и углы, заключённые между ними, равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса=высота=медиана. ⇒ BL=LT=RN=ND

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: ВТ║RD,  а BR║TD как лежащие на параллельных сторонах ABCD.

Из доказанного выше BL=RN. ⇒   BL=RN. ⇒

Четырехугольник BRNL – параллелограмм, ⇒LN=BR=4

LN - диагональ прямоугольника  KLMN. Диагонали прямоугольника равны.

КМ=LN=4

Объяснение:

Answer 2

Пусть у нас есть параллелограмм ABCD с длинами сторон AB = 12 и BC = 8. Если биссектрисы углов параллелограмма пересекаются, то образуется ромб.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами ромба:

1. Все стороны ромба равны между собой.
2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят его углы пополам.

Так как биссектрисы углов параллелограмма пересекаются, они делят его на 4 равных угла. Поскольку у нас параллелограмм, его углы уже равны между собой. Таким образом, в результирующем ромбе все углы также равны между собой, а значит, он является ромбом.

Поскольку биссектрисы перпендикулярно делят углы параллелограмма, то углы ромба тоже перпендикулярны. Таким образом, у нас есть два прямых треугольника, образованных диагоналями ромба.

С помощью теоремы Пифагора мы можем найти длины диагоналей ромба:

Пусть длины диагоналей ромба равны d1 и d2.

d1^2 + d2^2 = AB^2

Подставляя значения AB = 12:

d1^2 + d2^2 = 12^2 d1^2 + d2^2 = 144

Так как ромб является ромбом, его диагонали перпендикулярны друг другу и делят углы пополам, следовательно, диагонали равны между собой:

d1 = d2

Таким образом, у нас есть система уравнений:

d1^2 + d2^2 = 144 d1 = d2

Решая эту систему, мы можем найти значения диагоналей. Подставим второе уравнение в первое:

2d1^2 = 144 d1^2 = 72 d1 = √72 d1 = 6√2

Так как диагонали ромба равны, то d2 тоже равно 6√2.

Итак, длины диагоналей этого четырёхугольника равны 6√2 и 6√2 (в произвольном порядке).