Question

Найдите sinα, tgα и ctgα, если cosα=1/4

Answer 1

Ответ:

$\sin( \alpha ) = \sqrt{1 - { \cos( \alpha ) }^{2} }$

$\sin( \alpha ) = \sqrt{1 - ( { \frac{1}{4} )}^{2} } = \\ \sqrt{1 - \frac{1}{16} } = \sqrt{ \frac{15}{16} } = \frac{ \sqrt{15} }{4}$

$\cot( \alpha) = \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) }$

$\cot( \alpha ) = \frac{ \frac{ \frac{1}{4} }{ \sqrt{15} } }{4} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{ \sqrt{15} } = \\ = \frac{1}{ \sqrt{15} } = \frac{ \sqrt{15} }{15}$

$\ \tan( \alpha ) = \frac{1}{ \ \cot ( \alpha ) } = \frac{ \frac{1}{1} }{ \sqrt{15} } = \\ = 1 \times \sqrt{15} = \sqrt{15}$

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся тригонометрическими тождествами и соотношениями между тригонометрическими функциями.

Мы знаем, что: cos^2(α) + sin^2(α) = 1, (тождество Пифагора)

Заметим, что у нас дано значение cos(α), поэтому можем найти sin(α) следующим образом:

cos^2(α) + sin^2(α) = 1 (1/4)^2 + sin^2(α) = 1 1/16 + sin^2(α) = 1 sin^2(α) = 1 - 1/16 sin^2(α) = 15/16

Так как sin^2(α) = 15/16, то sin(α) = ±√(15/16).

Теперь рассмотрим tg(α) и ctg(α):

tg(α) = sin(α) / cos(α) tg(α) = (±√(15/16)) / (1/4) tg(α) = (±√15) / 4

ctg(α) = cos(α) / sin(α) ctg(α) = (1/4) / (±√(15/16)) ctg(α) = 4 / (±√15)

Таким образом, мы получаем следующие значения:

sin(α) = ±√(15/16) tg(α) = (±√15) / 4 ctg(α) = 4 / (±√15)

Знак "±" означает, что sin(α), tg(α) и ctg(α) могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится угол α.