Question

СРОЧНО В треугольнике КLM∠L = 90°, ∠M = 45°, KM = 16 см, LN — биссектриса. а) Между какими целыми числами заключено расстояние от точки N до стороны LM? б) Найдите длину отрезка RS, где NR⊥KL, NS⊥LM.

Answer 1

ΔKLM — прямоугольный, ∠L = 90°.

∠K = 90°−∠M = 90−45 = 45°  ⇒  ΔKLM — равнобедренный: ML = KL

Биссектриса, проведенная к основе равнобедренного треугольника является медианой и высотой. Медиана, проведенная из прямого угла тр-ка, равна половине гипотенузы:

    LN = MN = KN = 16/2 = 8  (cm)

Отрезок NS — расстояние от точки N до стороны LM, (NS⊥ML).

Из прямоугольного треугольника MSN: ∠SNM = 90°−∠NMS = 90−45 = 45°  ⇒  ΔMSN — равнобедренный: MS = NS:

MS = NS = x, тогда из т. Пифагора:

    $MS^2+SN^2=NM^2\\x^2+x^2=8^2\\2x^2=64\\x^2=32\\x=\sqrt{32} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2} \:\:$  $(cm)$

MS = NS = x = 4√2 ≈ 5,65 (cm)

5 < NS < 6

∠NLM = ∠NLK = 90/2 = 45° (т.к. LN — биссектриса)  ⇒  Δ NML и ΔNLK — равнобедренные. Отрезки NS NR — высоты, биссектрисы и медианы Δ NML и ΔNLK соответственно  ⇒  

⇒  MS = LS = NS = 4√2 (cm) и KR = LR = NR = 4√2 (cm);

Следовательно, отрезок RS — средняя линия ΔKLM:

Средняя линия тр-ка равна половите стороны, к которой она параллельна: RS = KM/2 = 16/2 = 8 (cm).

Ответ:

• расстояние от точки N до стороны LM заключено между целыми числами 5 и 6;
• длина отрезка RS равна 8 cm.

Answer 2

Дано, что в треугольнике KLM угол L равен 90°, угол M равен 45°, и длина KM равна 16 см. LN является биссектрисой.

a) Чтобы найти расстояние от точки N до стороны LM, нам нужно найти высоту треугольника KLM, проведенную из вершины L.

Поскольку LN является биссектрисой угла KLM, она делит угол KLM на два равных угла. Поскольку угол M равен 45°, углы KLN и NLM равны по 45° каждый.

Теперь мы можем использовать свойства треугольника KLM, чтобы найти высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник KLN:

В треугольнике KLN угол K равен 90°, угол KLN равен 45°, и мы знаем, что KM = 16 см.

Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти длину LN (высоту треугольника KLM):

tan(KLN) = LN/KM

Так как угол KLN равен 45°, то:

tan(45°) = LN/16

1 = LN/16

LN = 16

Таким образом, расстояние от точки N до стороны LM составляет 16 см.

b) Для нахождения длины отрезка RS, где NR ⊥ KL и NS ⊥ LM, мы должны рассмотреть треугольник NRS.

Треугольник NRS является прямоугольным треугольником, так как NR ⊥ KL и NS ⊥ LM. Мы уже знаем, что LN = 16 см.

Так как LN является высотой треугольника KLM, мы можем использовать его для нахождения длины RS. Обозначим точку пересечения NR и LS как точку P.

Так как треугольник NRS прямоугольный, применим теорему Пифагора:

NR² + RS² = NS²

Так как NR = LN = 16 см и NS = LM, а угол L равен 90°, то:

16² + RS² = LM²

256 + RS² = LM²

RS² = LM² - 256

RS = √(LM² - 256)

Мы знаем, что LM = KM + KN, и KM = 16 см. Чтобы найти KN, мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике KLM:

cos(K) = KN/KM

cos(45°) = KN/16

√2/2 = KN/16

KN = 16 * (√2/2)

KN = 8√2

Теперь мы можем заменить LM и KN в формуле для RS:

RS = √((KM + KN)² - 256)

RS = √((16 + 8√2)² - 256)

RS = √((256 + 256√2 + 128) - 256)

RS = √(256√2 + 128)

Таким образом, длина отрезка RS равна √(256√2 + 128).