Question

Знайдіть площу фігури обмеженою лініями y=x квадрат і y=2x

Answer 1

Ответ:

4/3

Объяснение:

Сначала найдем площадь фигуры, составленной из 1 и 2.

Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:

(катет)*(катет) / 2 = 4*2/2 = 4

Теперь найдем площадь фигуры 1.

Она равна ∫ от 0 до 2 x^2 dx.

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно:

1) найти первообразную функции. Она равна x^3/3 + C.

2) воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

2^3/3 - 0^3/3 = 8/3

Площадь фигуры 2 равна 4 - 8/3 = 12/3 - 8/3 = 4/3

Answer 2

Для знаходження площі фігури обмеженої лініями y = x, y = 2x і віссю x, потрібно визначити точки їх перетину та обчислити інтеграл від різниці цих двох функцій на відрізку від початкової точки до кінцевої.

Спершу знайдемо точки перетину ліній y = x і y = 2x: x = 2x, x = 0.

Тепер визначимо, яка з цих ліній буде верхньою (y-координата більше на всьому відрізку):

Для x від 0 до 1: y = 2x (верхня лінія) Для x від 1 до 2: y = x (верхня лінія)

Тепер обчислимо площу фігури:

Площа = ∫[a, b] (верхня функція - нижня функція) dx

де a = 0 і b = 2.

Для x від 0 до 1: Площа = ∫[0, 1] (2x - x) dx = ∫[0, 1] x dx = [x^2/2] [0, 1] = 1/2 - 0 = 1/2.

Для x від 1 до 2: Площа = ∫[1, 2] (x - 2x) dx = ∫[1, 2] -x dx = [-x^2/2] [1, 2] = -2 + 1/2 = -3/2.

Загальна площа фігури обмеженої лініями y = x, y = 2x і віссю x дорівнює сумі площ обчислених вище: Площа = 1/2 + (-3/2) = -1.

Однак площа не може бути від'ємною. Імовірно, у вас виникла помилка у встановленні меж для площі або у визначенні функцій. Будь ласка, перевірте дані та задайте правильні межі і функції для обчислення площі.