Question

Доведіть що бісектриси двох кутів прилеглих до однієї сторони паралелограма взаємно перпендикулярні.​

Answer 1

Ответ:

Сума двох сусідніх кутів у паралелограмі дорівнює 180. Бісектриса ділить ці два кути навпіл. Отримуємо два кути сумою 90 градусів. Отже на третій кут у трикитнику, що утворюють бісектриси залишається 90 градусів.

Answer 2

Позначимо дані елементи паралелограма та їх кути наступним чином:

ABCD - паралелограм. AB і CD - паралельні сторони. BC і AD - паралельні сторони. ∠DAB і ∠CBA - кути паралелограма. AC - діагональ паралелограма. O - точка перетину діагоналей AC і BD.

Ми хочемо довести, що бісектриси кутів ∠DAB і ∠CBA є взаємно перпендикулярними. Для цього ми можемо скористатися властивістю паралелограма, що сума протилежних кутів дорівнює 180°.

Подивімося на трикутники ABO і CBO. Вони спільні за основою BO та мають однаковий кут при вершині B, адже він є кутом паралелограма. Таким чином, за властивістю бісектриси кута та властивістю внутрішньої суми кутів в трикутнику, ми можемо сказати, що ∠OBA = ∠OBC.

Аналогічно, порівнявши трикутники ADO і CDO, ми можемо сказати, що ∠ODA = ∠ODC.

Тепер ми маємо два трикутники: ∆OBA і ∆ODC, в яких маємо рівні пари кутів:

∠OBA = ∠OBC ∠ODA = ∠ODC

Загальне для обох трикутників є кут ∠BOC, який є кутом паралелограма ∠DAB. Це означає, що ∠BOC = ∠DAB.

Також маємо, що ∠BOA + ∠DOA = 180°, оскільки вони є протилежними кутами паралелограма.

Отже, ми маємо систему рівнянь для кутів:

∠OBA = ∠OBC ∠ODA = ∠ODC ∠BOC = ∠DAB ∠BOA + ∠DOA = 180°

Розв'язавши цю систему, ми отримуємо, що ∠OBA = ∠OBC = ∠ODA = ∠ODC = 90°.

Це означає, що бісектриси кутів ∠DAB і ∠CBA, які є лініями OB і OD, відповідно, є взаємно перпендикулярними, оскільки утворюють прямий кут одна з одною.